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ghw_nit鐵桿木蟲 (正式寫手)
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[求助]
怎樣證明直線與平面的夾角的最小值一定是垂直的那條線所成的角 已有2人參與
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| 如圖所示，怎樣證明這個問題呢，看著是比較明顯的，怎樣用數(shù)學的語言嚴密的說明這一點呢？ |
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2013-12-30 09:55:59, 960.05 K
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【答案】應助回帖
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感謝參與，應助指數(shù) +1
ghw_nit: 金幣+5, ★★★很有幫助, 如果是n維空間上呢，也類似么？我還得消化一會 2013-12-30 19:27:42
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ghw_nit: 金幣+5, ★★★很有幫助, 如果是n維空間上呢，也類似么？我還得消化一會 2013-12-30 19:27:42
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樓主的意思就是直線與平面中任何直線的夾角的最小值即為它與平面法線的夾角。 證明： 設P（x0,y0,z0)是直線L和平面π的交點，Q（ξ，η，ζ）為平面π上任一個不與P點重合的點，L的方向矢量為{p,q,r},平面π的法向矢量為｛l,m.n｝,則L與PQ直線的方向余弦Cosα為： Cosα=｛p*(ξ-x0)+q*(η-y0)+r*(ζ-z0)｝/ /{sqrt{p^2+q^2+r^2}*sqrt{[ξ-x0]^2+[η-y0]^2+[ζ-z0]^2}} 將Cosα對ξ、η、ζ分別求偏導數(shù)并令之為零，得到三個含ξ、η、ζ方程，解之即可得到使Cosα獲得極值的點的坐標值R（ξ*，η*，ζ*）。再證明直線L與直線PR以及平面π的法線共面，也就是證明R（ξ*，η*，ζ*）在直線L與平面π的法線組成的平面上，問題便可得到證明，而這在數(shù)學上已沒有困難了。 證明完畢。 |
3樓2013-12-30 14:57:47
feixiaolin
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2樓2013-12-30 13:17:09
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