RoyZhang

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一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)問題請(qǐng)大家討論指導(dǎo)

F是3*3未知矩陣，|F|>0；r1、r2、r3是已知線性無關(guān)的三個(gè)向量；a1，a2為已知向量，已知：
F*r1=a1
F*r2=a2

求F*r3=？？？

請(qǐng)問該問題是否可解？需要如何解？如果條件不夠，還需什么樣的條件？

這個(gè)問題我是求解一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)問題得到的，這個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)問題這樣描述：一個(gè)剛體自由運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)形式未知，只知道不在同一直線上的三點(diǎn)的加速度，求該剛體任意一點(diǎn)的加速度

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1樓 2014-01-18 19:03:14

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F*r1=a1
F*r2=a2
→ F*(r1+2*r2) = a1 +2*a2;
F*(r1+2*r2)*(r1+2*r2)^T = (a1 +2*a2)*(r1+2*r2)^T
若 (r1+2*r2)*(r1+2*r2)^T 滿秩
F = (a1 +2*a2)*(r1+2*r2)^T*Inv[(r1+2*r2)*(r1+2*r2)^T ]
則 F*r3=可求

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2樓2014-01-18 19:18:27

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2樓: Originally posted by feixiaolin at 2014-01-18 19:18:27
F*r1=a1
F*r2=a2
→ F*(r1+2*r2) = a1 +2*a2;
F*(r1+2*r2)*(r1+2*r2)^T = (a1 +2*a2)*(r1+2*r2)^T
若 (r1+2*r2)*(r1+2*r2)^T 滿秩
F = (a1 +2*a2)*(r1+2*r2)^T*Inv
則 F*r3=可求

請(qǐng)問此 F*(r1+2*r2) = a1 +2*a2 其中的2選取的依據(jù)是什么？為什么不是1或別的？

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3樓2014-01-18 19:46:27

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3樓: Originally posted by RoyZhang at 2014-01-18 19:46:27
請(qǐng)問此 F*(r1+2*r2) = a1 +2*a2 其中的2選取的依據(jù)是什么？為什么不是1或別的？...

實(shí)際上可以是任意常數(shù)k，你可以隨意確定

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4樓2014-01-18 19:57:50

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4樓: Originally posted by feixiaolin at 2014-01-18 19:57:50
實(shí)際上可以是任意常數(shù)k，你可以隨意確定...

經(jīng)過推導(dǎo)(r1+k*r2)*(r1+k*r2)^T，不可能是滿秩陣，該方法無效，但是一樣謝謝你

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5樓2014-01-18 20:15:58

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RoyZhang: 金幣+5, ★★★很有幫助 2014-01-19 15:06:46

似乎不可解。因?yàn)殡m然|F|>0，即F滿秩，可以求逆，從而獲得r1和r2。但即使知道r1、r2，并知道r1、r2、r3是已知線性無關(guān)的三個(gè)向量，仍無法確定r3，因?yàn)橛袩o數(shù)個(gè)不同的向量可以和已知的r1和r2線性無關(guān)。故無法確定F*r3=？。

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6樓2014-01-18 20:48:25

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6樓: Originally posted by peterflyer at 2014-01-18 20:48:25
似乎不可解。因?yàn)殡m然|F|>0，即F滿秩，可以求逆，從而獲得r1和r2。但即使知道r1、r2，并知道r1、r2、r3是已知線性無關(guān)的三個(gè)向量，仍無法確定r3，因?yàn)橛袩o數(shù)個(gè)不同的向量可以和已知的r1和r2線性無關(guān)。故無法確定 ...

r1，r2，r3不僅線性無關(guān)，而且均為已知

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7樓2014-01-18 21:05:18

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7樓: Originally posted by RoyZhang at 2014-01-18 21:05:18
r1，r2，r3不僅線性無關(guān)，而且均為已知...

此題的關(guān)鍵在于求出矩陣F。若矩陣r1*r1^T或矩陣r2*r2^T之中至少有一個(gè)是滿秩矩陣，設(shè)其為R*R^T，則此時(shí)F*R=A。則可求出其逆陣*(R*R^T)^(-1)。從而F=A*R^T*(R*R^T)^(-1)。

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8樓2014-01-18 21:58:23

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8樓: Originally posted by peterflyer at 2014-01-18 21:58:23
此題的關(guān)鍵在于求出矩陣F。若矩陣r1*r1^T或矩陣r2*r2^T之中至少有一個(gè)是滿秩矩陣，設(shè)其為R*R^T，則此時(shí)F*R=A。則可求出其逆陣*(R*R^T)^(-1)。從而F=A*R^T*(R*R^T)^(-1)。...

R*R^T這種形式的矩陣秩必定為1，絕對(duì)不可能滿秩啊！

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9樓2014-01-18 22:25:48

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