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[求助] 一道高數(shù)題，望高手指點。。。已有2人參與

就這題。

無標(biāo)題.png

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1樓 2014-02-10 12:05:04

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feixiaolin

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sum[x^(n^2), {n, 0, inf}]是sum[x^n, {n, 0, inf}]的缺項級數(shù)；
在|x|<1時收斂；x=1時發(fā)散；
x→1-，即從1的左側(cè)→1時，sum[x^(n^2), {n, 0, inf}]等價于inf，結(jié)論成立。

[ Last edited by feixiaolin on 2014-2-10 at 12:54 ]

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2樓2014-02-10 12:31:24

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就是這上面的一道題，
首屆中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試卷(2009年,非數(shù)學(xué)類）

http://www.gaoyang168.com/bbs/viewthread.php?tid=4394003&fpage=1

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3樓2014-02-10 12:41:23

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引用回帖:

2樓: Originally posted by feixiaolin at 2014-02-10 12:31:24
sum是sum的缺項級數(shù)；
在|x|<1時收斂；x=1時發(fā)散；
x→1-，即從1的左側(cè)→1時，sum等價于inf，結(jié)論成立。
...

那inf具體是關(guān)于x的什么表達形式呢？

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4樓2014-02-10 12:57:24

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取x=1-eps, 對每一項做一階近似=1-n^2*eps，累加。

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5樓2014-02-10 12:59:46

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peterflyer

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【答案】應(yīng)助回帖

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Sum{x^n^2,0,∞}                      x趨于1-
=Lim Sum{x^n^2,0,N}                N趨于無窮、x趨于1-
=Sum{Lim x^n^2,0,N}                N趨于無窮、x趨于1-
  =Sum{1,0,∞}                            N趨于無窮
=∞

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6樓2014-02-10 21:24:57

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引用回帖:

4樓: Originally posted by boy2014 at 2014-02-10 12:57:24
那inf具體是關(guān)于x的什么表達形式呢？...

inf 無群大代號

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7樓2014-02-10 22:28:12

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jabile

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

1/(1-x)
<= 1+x+x^2+x^3+....
>=1+x^1+x^4+...+x^{n^2}+x^{2n^2}+x^{3n^3}+......

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8樓2014-02-12 16:13:49

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9樓2014-02-13 08:41:47

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引用回帖:

8樓: Originally posted by jabile at 2014-02-12 16:13:49
1/(1-x)
<= 1+x+x^2+x^3+....
>=1+x^1+x^4+...+x^{n^2}+x^{2n^2}+x^{3n^3}+......

寫錯了，后面應(yīng)該是
>=1+...+x^{(n-1)^2}+x^{n^2}[1+y+y^2+...]
等價于1/(1-y)，其中y=x^{(n+1)^2/n^2}
從而1/(1-y)等價于{(n+1)^2/n^2}{1/1-x}
因此原式是和{1/1-x}等價的無窮大

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10樓2014-02-13 10:47:28

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