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兩個關(guān)于矩陣的問題 已有2人參與
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問題 1)假定:矩陣S的所有特征根的實(shí)部分大于等于0 求證:是否存在一個正定矩陣P,滿足PS+S^TP為半正定矩陣 ps：S^T表示矩陣S的轉(zhuǎn)置 2)假定A是半正定矩陣，B是正定矩陣 求證:是否存在一個正常數(shù)c使得cB-A為正定矩陣 謝謝 |
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4樓2014-03-27 19:37:27
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我沒有解決問題，只是提供個可能的思路。 2）顯然成立， 因?yàn)?nbsp; 對正定矩陣M， 由Courant-Fischer-Weyl 不等式，有 Lambda_min (x,x) <= (Mx, x) <= Lambda_max (x,x) 最大最小特征值，所以對任何 C滿足 C* Lambda_B_min > Lambda_A_max, 都有 ( (cB-A)x,x) >0, 也就是從定義來說，cB-A 是正定的。 1）不會作。 可以考慮一步步化簡。 （i）因?yàn)?PS+S^T P 半正定等價于 ( (PS+S^T P)x, x) >=0. 即 2(Sx, Px)>=0. 因此， Q=V^T*P*V, W=V^{-1}*S*V 將會滿足 QW+W^TQ半正定，所以不妨設(shè)S在相似下已經(jīng)是Jordan標(biāo)準(zhǔn)型了。 (ii) 從矩陣維數(shù)歸納的話，不妨設(shè)S就有且僅有一個Jordan塊。 (iii) 如果 PS+S^TP 半正定，那么 P*(S+epsilon) +(S+epsilon)^T*P正定，對任意epsilon>0. 因此不妨假設(shè) S 特征根實(shí)部為零。 即使對這樣的矩陣，我也構(gòu)造不出正定矩陣P滿足要求， 還是把球踢給樓主吧。 |
5樓2014-03-29 11:38:08
hank612
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6樓2014-03-29 13:18:30
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