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hao_jian木蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)
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[交流]
【求助】請(qǐng)教解析幾何高手：100金幣求坐標(biāo)任意轉(zhuǎn)動(dòng)變換的解析公式 已有4人參與
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直角坐標(biāo)系X0,Y0,Z0中，有一個(gè)向量（a,b,c），坐標(biāo)系繞此向量左手旋轉(zhuǎn)θ角，此時(shí)得到新的直角坐標(biāo)系X1Y1Z1。（兩坐標(biāo)系原點(diǎn)重合） 請(qǐng)問(wèn)，在原坐標(biāo)系中的任意點(diǎn)（x,y,z）,在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為何？請(qǐng)給出解析公式，或者變換矩陣也行。（a,b,c,θ已知） 現(xiàn)有的公式（或者說(shuō)變換矩陣）都是繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)。 題目很簡(jiǎn)單，似乎公式超復(fù)雜，我頭大了，弄不出來(lái)，拜托數(shù)學(xué)高手��！ 先給出正確公式的將得到100金幣 [ Last edited by Doctorcbw on 2010-6-17 at 19:05 ] |
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hao_jian
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2樓2010-06-17 16:57:49
Pchief
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Doctorcbw(金幣+1):謝謝 2010-06-17 19:06:39
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思路不止一種，好比說(shuō)我現(xiàn)在還有一個(gè)思路： 首先選取新坐標(biāo)系 X2 Y2 Z2 使得 原向量（a,b,c）變成新坐標(biāo)系的 x 軸。這個(gè)基變換記做 P; 其次 在 X2 Y2 Z2 中 繞 X 軸旋轉(zhuǎn) θ角，這個(gè)變換記做 A。 最后用(P逆)還原坐標(biāo)，于是總的變換可以寫(xiě)成 (P逆)AP。 當(dāng)然坐標(biāo)是逆變向量，所以坐標(biāo)變換公式應(yīng)該是 (P逆)(A逆)P。 具體變換矩陣等會(huì)慢慢給你算 |
3樓2010-06-17 17:33:12
nmfsde
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bluesine:這個(gè)。。。能簡(jiǎn)單給下過(guò)程否？呵呵 2010-06-18 08:16:52
hao_jian(金幣+50):謝謝啦！分兩次給 2010-06-18 10:54:55
hao_jian(金幣+50):結(jié)果太好了！ 2010-06-18 10:55:49
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bluesine(數(shù)學(xué)EPI+1):補(bǔ)上 2010-06-19 08:51:31
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bluesine(數(shù)學(xué)EPI+1):補(bǔ)上 2010-06-19 08:51:31
解答如圖 |
4樓2010-06-17 21:50:55
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5樓2010-06-17 21:51:52
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6樓2010-06-17 22:54:43
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暈菜了，竟然有這么簡(jiǎn)單的求法？ 我那個(gè)算法里求 P A (P逆) 的時(shí)候計(jì)算一大堆，求出來(lái)之后還通分，這才發(fā)現(xiàn)分子里面原來(lái)可以提出公因子 (a^2+b^2) 跟分母消掉，這些計(jì)算竟然都是多余的？ 從理論上講，跟 (e1)' 正交的另外兩個(gè)單位向量 (e2)' (e3)' 可以任意選取，但是結(jié)果只有一個(gè)，換言之 (e2)' (e3)' 的選取方式與結(jié)果無(wú)關(guān)，這樣看來(lái)計(jì)算 (e2)' (e3)' 確實(shí)是多余的，但是我還是不大明白具體多余在什么地方，你能不能把你的思路稍微解釋一下呢？ [ Last edited by Pchief on 2010-6-17 at 23:05 ] |
7樓2010-06-17 23:03:37
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小雨萌萌(金幣+2):謝謝解答，鼓勵(lì)新蟲(chóng) 2010-06-18 08:04:26
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小雨萌萌(金幣+2):謝謝解答，鼓勵(lì)新蟲(chóng) 2010-06-18 08:04:26
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這個(gè)方法叫做歐拉軸/角參數(shù)式，求坐標(biāo)轉(zhuǎn)換有多種方法：方向余弦、歐拉角(共12種旋轉(zhuǎn)順序)、歐拉軸角、四元數(shù)法等。 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，確定了旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角，應(yīng)用歐拉軸角有固定的公式，可在相關(guān)著作中尋找，例如章仁為的《衛(wèi)星軌道姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與控制》北航出版社，1998。在比較深的力學(xué)書(shū)籍中也可找到。其基本思想是理論力學(xué)中的歐拉定理：剛體繞固定點(diǎn)的任意位移，都可由繞通過(guò)此一點(diǎn)的某一軸轉(zhuǎn)過(guò)一定角度得到。寫(xiě)成數(shù)學(xué)形式是轉(zhuǎn)軸方向單位矢量等于旋轉(zhuǎn)矩陣和這個(gè)單位矢量的乘積。 |
8樓2010-06-17 23:22:19
hao_jian
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