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lilihurry

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設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3ax-1,a≠0,(1)求f(x)單調(diào)區(qū)間，若f(x)在x=-1處取得極值，直線y=mx,與y=f(x)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍

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1樓 2014-04-03 12:43:05

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

-√a＜x＜√a單調(diào)遞減，x大于√a或小于負(fù)根號(hào)下a單調(diào)遞增

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2樓2014-04-03 13:10:59

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Edstrayer

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【答案】應(yīng)助回帖

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f(x)=x^3-3ax-1在x=-1處有極值，則a=1
于是當(dāng)f(-1)>m(-1)且f(1)<m時(shí)曲線f(x)與直線y=mx有三個(gè)交點(diǎn)
即m>-1，這就是所要求的m的取值范圍。

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青蔥歲月圣誕夜，浪漫歌舞迎新年。

3樓2014-04-03 15:13:22

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peterflyer

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lilihurry(feixiaolin代發(fā)): 金幣+5 2014-04-05 16:42:53

f '(x)=3*x^2-3*a ; f "(x)=6*x
顯然，若a<=0,f '(x)>=0. f(x)在（-∞，∞）上單調(diào)遞增；
若a>0, 令f '(x)=0,解得x=±sqrt(a)。
將其代入f"(x),得知駐點(diǎn)為±sqrt(a)，取負(fù)號(hào)時(shí)得極大值，取正號(hào)時(shí)得極小值。
由此得知:在(-∞，-sqrt(a))和(sqrt(a),∞)上單調(diào)遞增,
在(-sqrt(a)，sqrt(a))上單調(diào)遞減。

若f(x)在x=-1處取得極值，-sqrt(a)=-1, 故a=1
即 f(x)=x^3-3*x-1
由f(x)=x^3-3*x-1圖像的性質(zhì),存在一個(gè)k>0，當(dāng)m∈(-k,∞)時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)m∈(∞-,k)時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，而k即為由原點(diǎn)向f '(x)所做切線的斜率。
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,f(x0)),則切線方程為：
y-f(x0)=f '(x0)*[x-x0] ，即y=[3*x0^2-3]*x-2*x0^3-1
由于此切線過(guò)原點(diǎn)，故-2*x0^3-1=0,解得x0=1/2^(1/3)
故-k=3*[1/2^(1/3)]^2-3 , K=3-3/2^(2/3)

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4樓2014-04-03 16:11:30

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4樓: Originally posted by peterflyer at 2014-04-03 16:11:30
f '(x)=3*x^2-3*a ; f "(x)=6*x
顯然，若a<=0,f '(x)>=0. f(x)在（-∞，∞）上單調(diào)遞增；
若a>0, 令f '(x)=0,解得x=±sqrt(a)。
將其代入f"(x),得知駐點(diǎn)為±sqrt(a)，取負(fù)號(hào)時(shí)得極大值，取正 ...

請(qǐng)問(wèn)答案是不是有點(diǎn)問(wèn)題呢？-2*x0^3-1=0,解得x0=1/2^(1/3)，,存在一個(gè)k>0，當(dāng)m∈(-k,∞)時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)m∈(∞-,k)時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，而k即為由原點(diǎn)向f '(x)所做切線的斜率。這個(gè)是怎么看的呢？

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5樓2014-04-04 09:34:58

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5樓: Originally posted by lilihurry at 2014-04-04 09:34:58
請(qǐng)問(wèn)答案是不是有點(diǎn)問(wèn)題呢？-2*x0^3-1=0,解得x0=1/2^(1/3)，,存在一個(gè)k>0，當(dāng)m∈(-k,∞)時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)m∈(∞-,k)時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，而k即為由原點(diǎn)向f '(x)所做切線的斜率。這個(gè)是怎么看的呢？...

樓主實(shí)際做一下圖就可明白了。

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6樓2014-04-04 10:19:51

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