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1樓 2014-05-09 10:48:18

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【答案】應(yīng)助回帖

★
fegg7502: 金幣+1, 應(yīng)助指數(shù)+1, 鼓勵(lì)交流 2014-05-13 09:17:07

function [y err] = soodesv(q1,q2,q3,alpha,beta,a,b,dx)
N = (b-a)/dx+1;
y = zeros(N,1);
D = zeros(N);
f = zeros(N,1);
for ir=1:N
x = a+(ir-1)*dx;
if ir==1
      D(ir,ir) = -q2(x)-2.0/(dx^2);
      D(ir,ir+1) = 2.0/(dx^2);
      f(ir) = 2.0*alpha/dx+q1(x)*alpha+q3(x);
end
if ir>1 && ir<N
      D(ir,ir) = -2.0/(dx^2)-q2(x);
      D(ir,ir+1) = 1.0/(dx^2)-q1(x)/(2.0*dx);
      D(ir,ir-1) = 1.0/(dx^2)+q1(x)/(2.0*dx);
      f(ir) = q3(x);
end
if ir==N
      D(ir,ir) = -q2(x)-2.0/(dx^2);
      D(ir,ir-1) = 2.0/(dx^2);
      f(ir) = q1(x)*beta+q3(x)-2.0*beta/dx;
end
end
y = D\f;
t = a:dx:b;
err = norm(D*y-f);
fprintf('2rd order ode solver error: ||D*y-f||_{2}=%e\n',norm(D*y-f));
plot(t,y);

例子：
y''-3.0*y'+2.0*y-x=0 y'(0)=1 y'(1)=2
>>soodesv(@(x)3.0,@(x)(-2.0),@(x)x,1,2,0,1,0.01);

解的圖像.jpg

結(jié)果.jpg

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6樓2014-05-12 10:16:45

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【答案】應(yīng)助回帖

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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
fegg7502: 金幣+3, 應(yīng)助指數(shù)+1, 專家考核, 3ks 2014-05-13 09:16:37

這個(gè)可以考慮用bvp解算器做
BVP解算器
solinit = bvpinit(x, yinit, params)
sol = bvpsolver(odefun,bcfun,solinit,options)
由于邊值問題可能有多解，為了便于我們確定那個(gè)解是我們需要的，所以必須使用bvpinit函數(shù)對初值進(jìn)行估計(jì)
解算器(bvpsolver)：Matlab中提供了bvp4c和bvp5c，后者誤差控制更好些
輸入?yún)?shù)：
x：需要計(jì)算的網(wǎng)格點(diǎn)，相當(dāng)于ode**的tspan
yinit：猜測的值，可以是具體值，也可以是函數(shù)，類似與 ode**的 x0
params：其它未知參數(shù)，也是一個(gè)猜測值
odefun：描述邊值問題微分方程的函數(shù)句柄

bcfun：邊值函數(shù)，一般是雙邊值(x 的上下限即認(rèn)為兩個(gè)邊界)，但也支持多邊值(具體看幫助)
bc(y(a),y(b))=0
舉個(gè)例子，y(0)=0,y(4)=-2 ---bcfun可寫成 res =@(ya,yb) [ ya(1) ; yb(1) + 2];
y'(0)=y'(pi)=0,y(0)=1-----------bcfun可寫成res = @(ya,yb) [ ya(2); yb(2);ya(1)-1 ];
solinit：由bvpinit生成的初始化網(wǎng)格
solinit = bvpinit(linspace(pa,pb,10),[1 0]);
bvpinit的第一個(gè)參數(shù)表示求解域及中心節(jié)點(diǎn)，第二個(gè)參數(shù)表示猜測初始值，基本都寫成[1 0]，它的變化一般對解無影響
options：BVP解算器優(yōu)化參數(shù)，可以通過bvpset設(shè)置，具體參數(shù)查看幫助

降階法表達(dá)二階的常微分方程，ya(1)表示函數(shù)在求解域[a,b]的左邊界a上的值，ya(2)表示函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在a上的值，“ya(1)-5”實(shí)際上是“ya(1)-5=0”的簡寫，表示y(x=a)=5，即函數(shù)在左邊界上的值為5。yb是右邊界，其他與ya相同。
用bvp4c求得的解sol是一個(gè)結(jié)構(gòu)體，其中的子項(xiàng)y是一個(gè)2行多列的矩陣，第一行表示函數(shù)值，第二行表示函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。另一個(gè)子項(xiàng)yp也是一個(gè)2行多列的矩陣，第一行表示函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)值，第二行表示函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)值。用deval求出的y與sol.y相同

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2樓2014-05-09 19:47:44

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3樓2014-05-09 21:24:53

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478107371: 金幣+60, ★★★★★最佳答案, 大神，請接受我的膝蓋，分全是你一人兒的 2014-05-10 00:11:25
fegg7502: 金幣+2, 應(yīng)助指數(shù)+1, 專家考核, 3ks 2014-05-13 09:16:54

舉個(gè)例子吧
y''-3y'+2y=x， y‘(0)=1,y’(1)=2

CODE:

%解析解

 yy=dsolve('D2y-3*Dy+2*y=x','Dy(0)=1','Dy(1)=2','x');

x=0:0.01:1;hold on;plot(x,eval(yy),'bo')

%bvp 數(shù)值解

 f1=@(x,y)[y(2);x-2*y(1)+3*y(2)];

 solinit = bvpinit(linspace(0,1,20),[-1 1]);

 f2=@(ya,yb)[ya(2)-1;yb(2)-2];

 sol = bvp4c(f1,f2,solinit);

xint = linspace(0,1,25);

yint = deval(sol,xint);

hold on; plot(xint,yint(1,:),'rp-');

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4樓2014-05-09 21:51:36

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引用回帖:

7樓: Originally posted by 478107371 at 2014-05-12 10:39:14
大神，你這個(gè)是用什么方法寫的代碼，能不能稍微解釋一下子...

內(nèi)部網(wǎng)格用的二階中心差分
(y(j+1)-2*y(j)+y(j-1))/(dx^2)-q1j*(y(j+1)-y(j-1))/(2*dx)-q2j*yj-q3=0
j=1,....,N-1
邊界條件用的二階中心差分，引入虛網(wǎng)格點(diǎn)
左邊邊界條件

y1-y(-1))/(2.0*dx)=alpha
y(-1)=y1-2*alpha*dx
利用方程
(y(1)-2*y(0)+y(-1))/(dx^2)-q10*alpha-q20*y0-q3=0
把y(-1)帶入到上式
每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)都有一個(gè)方程
然后形成一個(gè)(N+1)×(N+1)的方程組
Dy=f
解出來就完了

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8樓2014-05-12 12:49:14

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9樓2014-05-12 19:05:12

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引用回帖:

9樓: Originally posted by 478107371 at 2014-05-12 19:05:12
邊界條件也是二階差分嗎，是不是一階差分？另外迭代過程呢？思路是不是用有限差分將二階方程變成線性方程組，然后用的牛頓迭代法求解？...

邊界條件也可以用二階的差分啊，當(dāng)然你也可以用一階的。
這是個(gè)線性方程組吧，直接消元就可以解了。你這個(gè)方程規(guī)模也不大，還是一維的問題。
真要迭代可以考慮用Jacobi迭代什么的。
牛頓迭代法不是解非線性方程的嗎？

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10樓2014-05-13 08:31:02

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