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math2000

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[求助] 隨機變量函數(shù)的協(xié)方差大于0 已有2人參與

問題如下：設f(x)，g(x)是實值單調有界函數(shù)，X是隨機變量，證明
f(X)與g(X)的協(xié)方差大于0.

直觀看，很顯然，因為f(X)與g(X)同時增長，即正相關，所以協(xié)方差肯定大于0，但證明無從下手，沒想出怎么利用條件：單調增加？
望高手指教，謝謝
另外也可以從實變或高數(shù)角度證明

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1樓 2014-05-27 20:45:17

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謝謝壇友的熱心回復。
本人已解決。再次感謝
令h(x,y)=[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]
由f，g的單調性，知道h是非負函數(shù)
考慮二重積分：
h(x,y)dF(x)dF(y)
其中F(x)是隨機變量的分布函數(shù)

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7樓2014-05-28 17:42:57

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chenjhit

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【答案】應助回帖

感謝參與，應助指數(shù) +1

好像是沙發(fā)額、、、沒辦法了、、應助吧、、、看不太懂題目、、、能不能直接求出對應的協(xié)方差呢？、、、表達式？、、還是測試點？？

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有鼬一樣的眼睛還有鼬一樣的心態(tài)，那么最終只會眼瞎。

2樓2014-05-27 21:03:58

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math2000

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即證明
E{f(X)g(X)}>E[f(X)]E[g(X)]

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3樓2014-05-27 21:07:32

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hank612

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【答案】應助回帖

感謝參與，應助指數(shù) +1

設Random Variable X的分布函數(shù)為 h(x), 那么
必需追加條件:   $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)h(x)dx >0 ,  \quad  \int_{-\infty}^{\infty} g(x)h(x)dx >0$ 以及 f(x), g(x) 單調上升 (否則有反例).  那么 E(fg) > E(f)E(g) 就是顯然的.

原因如下:
(1) 令 $E(f)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)h(x)dx =a >0$ ,  那么由于 h(x)是非負的,  f(x)/a  - 1是單調上升的, 并且 $\int_{-\infty}^{\infty} h(x) (\frac{f(x)}{a}-1) dx=0$ , 那么存在一點b, 滿足函數(shù) h(x)( f(x)/a -1) 在b點左邊面積為負, 右邊為正, 并且左邊總面積絕對值等于右邊總面積.

(2)   $\int_^{\infty} g(x) h(x) (\frac{f(x)}{a}-1) dx > g(b) \int_^{\infty} h(x) (\frac{f(x)}{a}-1) dx= -g(b) ) \int_{-\infty}^ h(x) (\frac{f(x)}{a}-1) dx > - \int_{-\infty}^ g(x) h(x) (\frac{f(x)}{a}-1) dx$

這就是你想要的:  E(g*f/a) > E(g) ,  E(gf)> E(g)*a = E(g)*E(f).

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4樓2014-05-28 07:35:55

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引用回帖:

4樓: Originally posted by hank612 at 2014-05-28 07:35:55
設Random Variable X的分布函數(shù)為 h(x), 那么
必需追加條件: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)h(x)dx >0 , \quad \int_{-\infty}^{\infty} g(x)h(x)dx >0 $ 以及 f(x), g(x) 單調上升 (否則有反例). 那么 ...

冒似這個點b更方便: f(b)=a. 那么

$\int_b^{\infty} g(x)*h(x)*(f(x)/a-1) dx > g(b) \int_b^{\infty} h(x)*(f(x)/a-1) dx >= -g(b) \int_{-\infty} ^ h(x)*(f(x)/a-1) dx > - \int_{-\infty} ^ g(x)*h(x)*(f(x)/a-1) dx$

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5樓2014-05-28 07:51:05

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5樓: Originally posted by hank612 at 2014-05-28 07:51:05
冒似這個點b更方便: f(b)=a. 那么

\int_b^{\infty} g(x)*h(x)*(f(x)/a-1) dx > g(b) \int_b^{\infty} h(x)*(f(x)/a-1) dx >= -g(b) \int_{-\infty} ^ h(x)*(f(x)/a-1) dx > - \int_{-\infty} ...

謝謝你的答復，但證明有錯誤，上面的第一個不等式不成立，因為被積函數(shù)不能保證在（b，無窮）是正的。
且最后一個不等式也不成立
還是感謝

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6樓2014-05-28 17:41:11

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6樓: Originally posted by math2000 at 2014-05-28 17:41:11
謝謝你的答復，但證明有錯誤，上面的第一個不等式不成立，因為被積函數(shù)不能保證在（b，無窮）是正的。
且最后一個不等式也不成立
還是感謝...

謝謝你的答復, 我的證明有錯誤, 因為默認了函數(shù)f(x)是連續(xù)的. 使得 f(b)=a的點b完全可以不存在. 不過這個問題可以繞過. 容易看出, 可以取到B使得 f(x)>=a 如果 x>=B; f(x)<a, 如果x<B.

不等式還是成立的. 第一個不等式, 在(B, Infinity)上, 被積函數(shù)是 (g(x)-g(B))*h(x)*(f(x)/a -1), 其中 g(x)-g(B) >=0, h(x)>=0, f(x)/a -1>=0, 因此積分非負.

第二個不等式, 在(-Infinity,B)上, 被積函數(shù)是 (g(x)-g(B))*h(x)*(f(x)/a -1), 其中 g(x)-g(B) <=0, h(x)>=0, f(x)/a -1<0, 因此積分依然非負.

你的答案簡潔明快, 感覺是 Proof in THE BOOK. 佩服.

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8樓2014-05-29 00:56:13

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dh3440242

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引用回帖:

7樓: Originally posted by math2000 at 2014-05-28 17:42:57
謝謝壇友的熱心回復。
本人已解決。再次感謝
令h(x,y)=
由f，g的單調性，知道h是非負函數(shù)
考慮二重積分：
h(x,y)dF(x)dF(y)
其中F(x)是隨機變量的分布函數(shù)

能不能再說具體點？這就是Kimball概率不等式。

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一切皆有可能

9樓2015-09-05 23:51:19

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dh3440242

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概率論與隨機分析
證明:若函數(shù)f(x)和g(x)有相同的單調性，則Cov(f(x),g(x))≥0.
給個具體的證明過程.

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一切皆有可能

10樓2015-09-06 00:31:29

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