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math2000鐵桿木蟲 (職業(yè)作家)
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[求助]
求助:一幾乎處處收斂的證明題 已有1人參與
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請大俠幫助，題目如下： 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，...，Xn，...獨(dú)立同分布，服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，證明： limsup(Xn/logn)=1，a.s. 謝謝了 |
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math2000
鐵桿木蟲 (職業(yè)作家)
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3樓2014-06-04 20:32:54
jianyongmu
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【答案】應(yīng)助回帖
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math2000: 金幣+50, ★★★★★最佳答案, 將上極限與Borel-cantelli引理聯(lián)系在一起，很有啟發(fā) 2014-06-04 20:32:52
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可以用Borel-Cantelli引理證明。 任取\epsilon\in (0,1)， 則有sum_{n=1}^{\inf}P{x_n/log n>1+\epsilon}=sum_{n=1}^{\inf} exp{-(1+\epsilon)log n}=sum_{n=1}^{\inf}(1/n)^{1+\epsilon}<\inf， 故由Borel-Cantelli引理知 P{x_n/log n>1+\epsilon i.o.}=0, 即{x_n/log n>1+\epsilon }發(fā)生無窮多次的概率為0， 所以limsup(X_n/logn)<=1+\epsilon a.s. 再由sum_{n=1}^{\inf}P{x_n/log n>1-\epsilon}=sum_{n=1}^{\inf} exp{-(1-\epsilon)log n}=sum_{n=1}^{\inf}(1/n)^{1-\epsilon}=\inf, 故由Borel-Cantelli引理知 P{x_n/log n>1-\epsilon i.o.}=1， 即{x_n/log n>1-\epsilon }發(fā)生無窮多次的概率為1， 所以 limsup(X_n/logn)>1-\epsilon a.s. 最后令\epsilon 趨于0， 就證明出limsup(X_n/logn)=0 a.s. |
2樓2014-06-04 14:12:45
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