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十點鐘的咖啡

金蟲 (正式寫手)

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[求助] 遇到了一個積分，大家?guī)兔纯础? 已有2人參與

$\int \frac{d\Omega}{4 \pi}k_i k_j = \frac{k^2}{3}\delta_{ij}$

以下是我的理解
（1）坐標系是
$k, \theta (-\frac{\pi}{2} \;to \; \frac{\pi}{2}), \phi (0\; to \;2\pi)$ .
（2） $d \Omega$ 是單位立體角。 $d \Omega = \sin \theta d\theta d\phi$
（3）如果我們計算
$\int \frac{d\Omega}{4 \pi}k_z k_z=\frac{1}{4\pi} \int k^2 \cos^2 \theta \sin \theta d \theta d\phi$
這不就是零嗎？

我不懂了，求幫助。

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又遇到這種情況了，大家?guī)兔纯?/a> 已經有15人回復

1樓 2014-06-29 13:57:27

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老張先生

銅蟲 (小有名氣)

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積分結果為1/4pi.k^2.4pi/3=k^2/3,結論正確。

人生苦短，世態(tài)炎涼。

4樓2014-06-30 10:07:52

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查看全部 5 個回答

racoon01

專家顧問 (著名寫手)

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【答案】應助回帖

感謝參與，應助指數(shù) +1

原始的積分從對稱性角度可以一眼看出，當然也可以通過你后來的給出的計算來驗證。

你的最后一式沒有寫完整，那個結果不是零，而是k^2/3，正是原式在i=j=z時的特例。

2樓2014-06-29 14:48:43

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zhengyongyb

金蟲 (正式寫手)

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【答案】應助回帖

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感謝參與，應助指數(shù) +1
十點鐘的咖啡: 金幣+5, ★★★★★最佳答案, 學高數(shù)的時候打游戲去了。出來混早晚是要還的。 2014-06-29 16:18:31

你坐標系取值范圍錯了，theta應該從0到pi.

3樓2014-06-29 15:11:35

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xingye_guang

新蟲 (初入文壇)

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（3）有錯：k^2 costh sinth^2 dth dfa

5樓2014-07-01 18:06:48

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