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王老白銀蟲(chóng) (小有名氣)
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[求助]
求助一個(gè)群論問(wèn)題 已有1人參與
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| 請(qǐng)問(wèn)如果M/N同構(gòu)于Z_5，其中N的階為p^2,那么能得到M是N和Z_5的直積嗎？ 請(qǐng)給出原因，謝謝謝謝 |
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王老白
銀蟲(chóng) (小有名氣)
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4樓2014-07-02 09:11:08
sskkyy
銀蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)
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2樓2014-07-01 23:15:05
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根據(jù)樓下SSKKYY的例子, 可以看出, 若 M/N=Z_5, 其中|N|=p^2, p是素?cái)?shù), 那么M=N X Z_5 的充分(非必要)條件是: 5 不整除 p(p-1)(p+1). 充分性的說(shuō)明: 設(shè)Z_5的一個(gè)生成元為a, 那么a在M中任意原像b,在N的共軛作用定義了N的一個(gè)自同構(gòu)phi: x --> b^{-1}* x *b. 由于p^2階的群N總是交換群(要么是循環(huán)的 (Z/p^2Z), 要么等于Z_p * Z_p), 所以phi^5=1. 由于 Aut(Z/p^2Z)的階為 [Euler函數(shù)(p^2) ]=p(p-1), Aut(Z_p X Z_p)的階為 (p^2-1)*(p^2-p)=p*(p-1)^2*(p+1). 如果5整除這些自同構(gòu)的階, 那么完全可以構(gòu)造例子, 使得M就是N和Z_5的半直積(不是直積). 反之, 如果5 不整除 p(p-1)(p+1), 那么由phi^5=1 可以推出 phi=1. 當(dāng) phi=1(恒同映射)時(shí), 大群M自己 就是交換群.那么由交換群的標(biāo)準(zhǔn)分解(分解成循環(huán)群的直積)直接看出, 如果p不等于 5, M必然等于N X Z_5. |
3樓2014-07-02 01:04:54
王老白
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5樓2014-07-02 09:11:24
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