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[求助] 導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)，可有通用積分公式？已有5人參與

導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)，是否有通用積分公式？請指教！

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1樓 2014-07-04 10:41:00

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feixiaolin

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
feixiaolin: 回帖置頂 2014-07-06 21:18:37

待定系數(shù)法：
f'(x)=sum[an*x^n]
1/f'(x)=sum[bn*x^n]
且
sum[an*x^n]*sum[bn*x^n]=1
確定  b0=1/a0;
      b1=-a1*b0/a0;
      ……
Integrate[1/f'(x)]=sum[bn*x^(n+1)/(n+1)]+Const

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15樓2014-07-05 07:51:28

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Nonsmooth

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

反函數(shù)呀！記得反函數(shù)的求導(dǎo)公式么？

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學(xué)術(shù)無國界。

2樓2014-07-04 17:53:32

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引用回帖:

2樓: Originally posted by Nonsmooth at 2014-07-04 17:53:32
反函數(shù)呀！記得反函數(shù)的求導(dǎo)公式么？

但求詳解。能否寫出表達式？不勝感激！

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3樓2014-07-04 19:44:02

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

因為 y=f(x), 且 x=inv f(y)
而且 (dx/dy) * (dy/dx) = 1,
可得: (inv f(x))' = 1/f'[inv f(x)],
等式兩邊積分, 可得:
inv f(x)=∫{1/f'[inv f(x)]} dx

在本題中 inv f(x) 用 f(x) 代入, 即可得:
∫{1/f'[f(x)]} dx = f(x) + c

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4樓2014-07-05 04:54:45

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【答案】應(yīng)助回帖

前面發(fā)的帖子有些錯誤,這里作個修改:
因為 y=f(x), 且 x=inv f(y)
而且 (dx/dy) * (dy/dx) = 1,
現(xiàn)在采用拉格郎日標記法,并且都用 f(x) 和 x 來表示, 可得: f'(x) * f'[inv f(x)] = 1,  即:
      1/f'(x) = f'[inv f(x)]
等式兩邊積分, 可得:
∫{1/f'(x)]} dx = inv f(x) + c
這個應(yīng)該是通用積分公式。

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5樓2014-07-05 07:03:05

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引用回帖:

4樓: Originally posted by billiards at 2014-07-05 04:54:45
因為 y=f(x), 且 x=inv f(y)
而且 (dx/dy) * (dy/dx) = 1,
可得: (inv f(x))' = 1/f',
等式兩邊積分, 可得:
inv f(x)=∫{1/f'} dx

在本題中 inv f(x) 用 f(x) 代入, 即可得:
∫{1/f'} dx = f(x) + c...

我是求∫[1/f'(x)] dx，不是求∫{1/f'[f(x)]} dx！
難道我的問題沒說清楚，我寫的式子沒顯示出來？

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6樓2014-07-05 07:06:29

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5樓: Originally posted by billiards at 2014-07-05 07:03:05
前面發(fā)的帖子有些錯誤,這里作個修改:
因為 y=f(x), 且 x=inv f(y)
而且 (dx/dy) * (dy/dx) = 1,
現(xiàn)在采用拉格郎日標記法,并且都用 f(x) 和 x 來表示, 可得: f'(x) * f' = 1,  即:
      1/f'(x) = f'
等 ...

還是不對吧?
記y=f(x),∫[dx/dy]dy的結(jié)果才是你給的解
我的問題是求∫[dx/dy]dx！

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7樓2014-07-05 07:15:25

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7樓: Originally posted by netvisitor at 2014-07-05 07:15:25
還是不對吧?
記y=f(x),∫dy的結(jié)果才是你給的解
我的問題是求∫dx！...

所以這里有一個反函數(shù)的變化.
如果你理解了反函數(shù), 這就不是問題了.

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8樓2014-07-05 07:22:38

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8樓: Originally posted by billiards at 2014-07-05 07:22:38
所以這里有一個反函數(shù)的變化.
如果你理解了反函數(shù), 這就不是問題了....

y=x?
f'[inv f(x)] 的變量難道還是x？inverse function的變量不變？
雖然感謝您的回復(fù)，但還是求有質(zhì)量的回復(fù)！
P.S. 我不知你的引用為什么會把我的∫[dx/dy]dy寫成∫dy，∫[dx/dy]dx寫成∫dx？難道木蟲出問題了？

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9樓2014-07-05 07:34:34

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7樓: Originally posted by netvisitor at 2014-07-05 07:15:25
還是不對吧?
記y=f(x),∫dy的結(jié)果才是你給的解
我的問題是求∫dx！...

y=f(x) 或者 x=f(y) 其實是可以任意選的. 也可以寫成 a=f(b). 關(guān)鍵是其中的邏輯關(guān)系才是重要的.

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10樓2014-07-05 07:36:09

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