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四階非齊次方程求解 已有1人參與
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如下圖中所示，，怎么求u的表達式（5）？？ 11.png 2.png |
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pippi6
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使用Laplace變換很容易按部就班地解決該問題，不用腦筋急轉(zhuǎn)彎。 問題可歸納為： a*d^4u/dy^4 - b*d^2u/dy^2=c (1) u(0)=u(h)=u''(0)=u''(h)=0 (2) 先假設(shè)該問題有解。并令u'(0)=m,u'''(0)=n 設(shè)U(s)為u(x)的拉式變換。對（1）兩邊關(guān)于y求拉式變換，得到： a*[s^4*U(s)-s^3*u(0)-s^2*u'(0)-s*u''(0)-u'''(0)]-b*[s^2*U(s)-s*u(0)-u'(0)]=c/s 即：a*[s^4*U-m*s^2-n]-b*[s^2*U-m]=c/s U(s)=[a*m*s^2+a*n-b*m+c/s]/[a*s^4-b*s^2] =[a*m*s^3+(a*n-b*m)*s+c]/[a*s^3*(s^2-b/a)] =[a*m*s^3+(a*n-b*m)*s+c]/{a*s^3*[s+sqrt(b/a)]*[s-sqrt(b/a)]} =[m*s^3+(n-b/a*m)*s+c/a]/{s^3*[s+sqrt(b/a)]*[s-sqrt(b/a)]} 這是個關(guān)于s的有理真分式，由代數(shù)學(xué)知識，U(s)可設(shè)定分為以下形式： U(s)=A/s^3+B/s^2+C/s+D/[s+sqrt(b/a)]+E/[s-sqrt(b/a)] A~E可通過比較等號兩邊同次項系數(shù)的方式獲得，這個工作很容易，就是計算麻煩一些而已。就留給樓主做了。 故對U(s)求拉式反變換就求得了u(y): u(y)=L^(-1)[U(s)] =1/2*A*y^2+B*y+C+D*e^[-sqrt(b/a)*y]+E*e^[sqrt(b/a)*y] 現(xiàn)在有了u(y)的函數(shù)形式，但還有m和n兩個待求參數(shù)。 將（2）中的u'(h)=u''(h)=0代入上式，得到關(guān)于m和n的二元方程組，解之，獲得m、n的值。如此一來，本問題就徹底得到了解決。 |
6樓2015-01-22 09:11:57
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