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[求助] 求助數(shù)學(xué)證明題

求證: n*(1-x^2)*x^(2n)-(2x+x^2)*(1-x^2n)+2x*(1+x)*(1-x^n)恒大于0，其中0<x<1,n為大于2的整數(shù)。求大神指教！不勝感激！由于手機(jī)傳不了圖，只能手打。

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1樓 2015-03-24 13:09:38

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落葉無(wú)聲===: 金幣+10, ★有幫助, 非常謝謝你能關(guān)注這個(gè)問(wèn)題！ 2015-03-26 01:42:30

Replace the second x^(2n) with x^n. Combine the second term and third term. Then each term is positive.

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2樓2015-03-24 15:56:57

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2樓: Originally posted by zaq123321 at 2015-03-24 15:56:57
Replace the second x^(2n) with x^n. Combine the second term and third term. Then each term is positive.

替換后式子被放大了吧……要放縮的話應(yīng)該要放小……不過(guò)還是感謝！

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3樓2015-03-24 18:00:34

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【答案】應(yīng)助回帖

引用回帖:

3樓: Originally posted by 落葉無(wú)聲=== at 2015-03-24 18:00:34
替換后式子被放大了吧……要放縮的話應(yīng)該要放小……不過(guò)還是感謝！
...

Sorry about this. Then should we compute the second derivative, which is negative in (0,1)?
But the calculation looks pretty complex.

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4樓2015-03-24 19:48:30

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4樓: Originally posted by zaq123321 at 2015-03-24 19:48:30
Sorry about this. Then should we compute the second derivative, which is negative in (0,1)?
But the calculation looks pretty complex....

求導(dǎo)也算過(guò)，但是太復(fù)雜了，也判斷不出式子單調(diào)性。因式分解嘗試分解了一下，但是沒(méi)有進(jìn)一步進(jìn)展

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5樓2015-03-24 20:38:37

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落葉無(wú)聲===: 金幣+50, ★★★★★最佳答案, 非常謝謝你！你的思路很好，之前一直在證都毫無(wú)頭緒，十分感謝！ 2015-03-26 01:41:36

引用回帖:

5樓: Originally posted by 落葉無(wú)聲=== at 2015-03-24 20:38:37
求導(dǎo)也算過(guò)，但是太復(fù)雜了，也判斷不出式子單調(diào)性。因式分解嘗試分解了一下，但是沒(méi)有進(jìn)一步進(jìn)展

...

思路是樓主和zaq123321提到的求導(dǎo)判斷增減性。只是要有耐心而已。

設(shè)y=1/x 在(1,正無(wú)窮)之間。設(shè)n>2正整數(shù)。

(1): 由 $2(2n-1)>(n-2)+(n+1)$ 以及導(dǎo)數(shù) $2(2n-1)\cdot ny^{n-1}>(n+1)$
知道 $2(2n-1)y^n > (n-2)+ (n+1)y$ , 即 $2(2n-1)y^{2n-3} > (n-2)y^{n-3}+ (n+1)y^{n-2}$ , 因此 $(2n-1)(2n-2)y^{2n-3} > (n-1)(n-2)y^{n-3}+ (n-1)(n+1)y^{n-2}$ , 即 $n(2n-1)(2n-2)y^{2n-3} > n(n-1)(n-2)y^{n-3}+ n(n-1)(n+1)y^{n-2}$ ,

(2)由于 $n+n(2n-1)= n(n-1)+n(n+1)$ , 對(duì)上述不等式積分知道
$n+n(2n-1)y^{2n-2} > n(n-1)y^{n-2}+(n+1)ny^{n-1}$

(3)再來(lái)。由于 $n+1+n= n+(n+1)$ , 對(duì)上述不等式積分知道
$ny+1+ny^{2n-1} > ny^{n-1}+(n+1)y^{n}$ , 這就是
$n\cdot 2y > ny^{n-1}(2y+1-y^n)+(y^n-1)(2-ny^{n-1})$

(4)兩個(gè)函數(shù)都從零出發(fā)，得到
$n(y^2-1) > (y^n-1)(2y+1-y^n)$ . 由y=1/x, 有 $n(\frac{1}{x^2}-1)>(\frac{1}{x^n}-1)(\frac{2}{x}+1-\frac{1}{x^n})$ , 即
$n(1-x^2)x^{2n-2}>(1-x^n)(2x^{n-1}+x^n-1)$

(5)即 $n(1-x^2)x^{2n} > (1-x^n)((2x+x^2)x^n-x^2)$ 可以看出，這就是
$n(1-x^2)x^{2n}> (2x+x^2)(1-x^{2n}) - 2x(1+x)(1-x^n)$ 樓主想要的不等式。

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6樓2015-03-25 23:00:51

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