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Arodz and Hadasz 2010經(jīng)典場論與量子場論講座
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Contents 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Example A: Sinus-Gordon Effective Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Example B: The Electromagnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Solutions of the Klein–Gordon Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 The Euler–Lagrange Equations and Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . 19 2.1 The Euler–Lagrange Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Scalar Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1 The Lorentz and Poincaré Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 The Real Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 The Complex Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.1 The Abelian Gauge Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2 Non-Abelian Gauge Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3 The Higgs Mechanism and a Massive Vector Field . . . . . . . . . . . . . . 80 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5 Relativistic Spinor Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.1 The Dirac Equation, Spin(4) and SL(2,C) Groups . . . . . . . . . . . . . . 87 5.2 The Dirac Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.3 The Weyl Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.4 The Majorana Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6 The Quantum Theory of Free Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.1 The Real Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 vii viii Contents 6.2 The Dirac Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.3 The Electromagnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7 Perturbative Expansion in the φ44 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.1 The Gell-Mann–Low Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.2 The Generating Functional for Green’s Functions: Wick Formula . . 161 7.3 Feynman Diagrams in Momentum Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8 Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8.1 Ultraviolet Divergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 8.2 The Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.3 BPHZ Subtractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.4 Renormalization of the 2-Point Green’s Function . . . . . . . . . . . . . . . 198 8.5 The Multiplicative Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 9 Renormalization Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 9.1 Renormalization Group Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 9.2 The Running Coupling Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 9.3 Dimensional Transmutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10 Relativistic Invariance and the Spectral Decomposition of G(2) . . . . . . 227 10.1 Relativistic Invariance in QFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 10.2 The Spectral Decomposition of G(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 10.3 The Contribution of the Single Particle Sector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 10.4 The Pole of the Perturbative G˜ (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 11 Paths Integrals in QFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 11.1 Path Integrals in Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 11.2 Path Integrals for Bosonic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 11.3 Path Integral for Fermionic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 12 The Perturbative Expansion for Non-Abelian Gauge Fields . . . . . . . . . 277 12.1 The Faddeev–Popov–DeWitt Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 12.2 The Generating Functional for Green’s Functions . . . . . . . . . . . . . . . 282 12.3 Feynman Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 12.4 BRST Invariance and Slavnov–Taylor Identities . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Contents ix 13 The Simplest Supersymmetric Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 13.1 Simple Superalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 13.2 Supersymmetry Multiplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 13.3 Representation of Supersymmetry in a Space of Fields . . . . . . . . . . 299 13.4 The Superspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 13.5 The Wess–Zumino Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 13.6 Notation and Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 14 Anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 14.1 Simple Example of Anomaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 14.2 Anomalies and the Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 Appendix A Some Facts About Generalized Functions . . . . . . . . . . . . . . 343 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 |
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