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我要飛

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[求助] 如何得到通項公式？已有1人參與

已知： $f_1=1,f_2=\frac{x-2}{2x},f_3=\frac{2x^2-6x+3}{6x^2}$
$f_4=\frac{3x^3-11x^2+9x-2}{12x^3}$ ,
則 $f_n$ 的表達式是多少？

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1樓 2015-05-15 16:23:21

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feixiaolin

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項數(shù)太少
fn={(n-1)*x^(n-1)-[2+4*(n-2)]*x^(n-2)+3^(n-2)*x^(n-3)-2^(n-4)*x^(n-4)}/[n*(n-1)*x^(n-1)]

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2樓2015-05-15 17:05:55

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引用回帖:

2樓: Originally posted by feixiaolin at 2015-05-15 17:05:55
項數(shù)太少
fn={(n-1)*x^(n-1)-*x^(n-2)+3^(n-2)*x^(n-3)-2^(n-4)*x^(n-4)}/

檢驗了一下，好像不對呀

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3樓2015-05-15 18:17:13

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引用回帖:

3樓: Originally posted by 我要飛 at 2015-05-15 18:17:13
檢驗了一下，好像不對呀...

沒寫客完，項數(shù)太少。

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4樓2015-05-15 18:39:35

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Edstrayer

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

設(shè)

$f_1=1=a$

$f_2=\frac{x-2}{2x}=b$

$f_3=\frac{2x^2-6x+3}{6x^2}=c$

$f_4=\frac{3x^3-11x^2+9x-2}{12x^3}=d$

用待定系數(shù)法計算 $f_n=?$
令 $f_n=An^3+Bn^2+Cn+D+(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)g(n)$ ，其中A，B，C，D是待定系數(shù)，g(n)是關(guān)于n的任意函數(shù)，則有：

$\left\{\begin{array}{l}A+B+C+D=a\\8A+4B+2C+D=b\\27A+9B+3C+D=c\\64A+16B+4C+D=d\end{array}\right.$

解此四元一次方程組就得到：

$\left\{\begin{array}{l}A=\frac{1}{6}(d+3b-3c-a)\\B=\frac{1}{2}(7c+3a-8b-2d)\\C=\frac{1}{6}(11d+57b-42c-26a)\\D=4a-6b+4c-d\end{array}\right.$

將上述解得的A，B，C，D代入 $f_n=An^3+Bn^2+Cn+D+(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)g(n)$ 就得到所要求的通項公式。

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青蔥歲月圣誕夜，浪漫歌舞迎新年。

5樓2015-05-16 03:51:12

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