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[求助] 求助：將雙曲函數cothx展開成冪級數的詳細步驟已有3人參與

最近看的一本書上說當x<<1時，函數cothx可展開成cothx=1/x*(1+x^2/3-x^4/45+......)
并沒有給詳細步驟，想了很久也想不出。麻煩大神們給個詳細展開步驟。非常感謝！

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1樓 2015-07-22 17:02:44

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hank612

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感謝參與，應助指數 +1
小浩子王子(feixiaolin代發(fā)): 金幣+17 2015-07-23 11:55:57
feixiaolin: 數學EPI+1, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=9452448&fpage=1 EPI 2015-10-03 08:09:03

請大家有點耐心，文章有點啰嗦（我不知道簡潔明快的推導，瀑布汗）

利用 $\sinh{x}=-i\sin(ix)$ , $\int \coth{x}dx=\ln(\sinh{x})+C$ 以及
$\sin{x}=x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})$
知道
$\coth{x}=\frac2m2tbsl{dx}\ln(-i\cdot ix \cdot \prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{(ix)^2}{n^2 \pi^2}))=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\frac{2x}{n^2\pi^2}}{1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}}$

因此 $\coth{x}-\frac{1}{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2x}{n^2\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}(-\frac{x^2}{n^2\pi^2})^k=\sum_{m=1}^{\infty}x^{2m-1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{m-1}}{(n\pi)^{2m}}$

利用 http://www.gaoyang168.com/bbs/viewthread.php?tid=8093491 里面的公式，立得 $x^{2m-1}$ 的系數為 $\frac{2(-1)^{m-1}\zeta(2m)}{\pi^{2m}}=\frac{2^{2m}B_{2m}}{(2m)!}$

大家給出的是計算方法，可以輕松得到前面幾項

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8樓2015-07-23 11:02:42

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終之太刀—曉

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引用回帖:

8樓: Originally posted by hank612 at 2015-07-23 11:02:42
請大家有點耐心，文章有點啰嗦（我不知道簡潔明快的推導，瀑布汗）

利用\sinh{x}=-i\sin(ix), \int \coth{x}dx=\ln(\sinh{x})+C以及
\sin{x}=x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})
知道
\coth{x}= ...

Hank612的回復是最佳結果。

本人就只好逐一拆解，寫出展開式的前幾項出來，供樓主參考：

1.png

2.png

3.png

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小浩子王子

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9樓2015-07-23 19:43:56

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hank612

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feixiaolin: 金幣+10, 2015-07 數學版應助金幣獎勵 2015-08-02 15:29:11

引用回帖:

9樓: Originally posted by 終之太刀—曉 at 2015-07-23 19:43:56
Hank612的回復是最佳結果。

本人就只好逐一拆解，寫出展開式的前幾項出來，供樓主參考：

1.png

2.png

3.png
...

看了終之太刀—曉的計算過程，豁然開朗，終于有了簡潔明快的證明（或說明）

終之太刀—曉給出了如下表達式：
$x\coth{x}=x+\frac{2x}{e^{2x}-1}$

https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number
根據Bernoulli數的定義
$\frac{t}{e^t-1}=\sum_{m=0}^{\infty}B_m\frac{t^m}{m!}=1-\frac{1}{2}t+\sum_{m=1}^{\infty}B_{2m}\frac{t^{2m}}{(2m)!}$

不用經過任何計算，直接看出
$\coth{x}=\frac{1}{x}+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2^{2m}B_{2m}}{(2m)!}x^{2m-1}$

這無形中再次驗證了我敬佩的導師的一句話：數學，無非定義而已。

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10樓2015-07-23 23:14:50

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bluesine

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感謝參與，應助指數 +1
小浩子王子(feixiaolin代發(fā)): 金幣+1 2015-07-23 11:56:19

$coth(x)=\frac{exp(x)+exp(-x)}{exp(x)-exp(-x)} exp(x) =1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+... exp(-x)=1-x+x^2/2-x^3/6+x^4/24+...$
代進去計算就得到了

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2樓2015-07-22 17:13:37

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小浩子王子(feixiaolin代發(fā)): 金幣+1 2015-07-23 11:56:23

分子只保留到o(x),因為x項系數為0，所以分子為2
分母展開到你想要的項，然后2可以約掉。。。就得到你要的結果

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板凳要做十年冷文章不發(fā)一個字

3樓2015-07-22 17:25:04

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2樓: Originally posted by bluesine at 2015-07-22 17:13:37
http://latex.codecogs.com/gif.latex?coth(x)=\frac{exp(x)+exp(-x)}{exp(x)-exp(-x)}&space;exp(x)&space;=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+...&spac ...

帶進去不對啊，得到的式子分子為2+x^2+x^4/12,分母為2x+x^3/3+x^5/160.化不到正確答案啊

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4樓2015-07-22 17:29:47

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3樓: Originally posted by bluesine at 2015-07-22 17:25:04
分子只保留到o(x),因為x項系數為0，所以分子為2
分母展開到你想要的項，然后2可以約掉。。。就得到你要的結果

按你后來說的思路試了下，化出來感覺還是不對。答案中還有減號，我這個里面分母中全是加號。下面是我化出來的樣子

截圖20150722173134.png

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5樓2015-07-22 17:41:23

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peterflyer

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小浩子王子(feixiaolin代發(fā)): 金幣+1 2015-07-23 11:56:33

分子分母先按照exp(x)和exp(-x)進行泰勒展開，此時分母中為2*x*sum{1/(2*n+1)!*x^(2*n+1),n=0~∞}；而分子中為2*sum{1/(2*n)!*x^(2*n),n=0~∞}；此后再按照1/(1-u)=1-u+u^2-u^3+u^4-......進行展開即可。

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6樓2015-07-22 21:58:58

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引用回帖:

5樓: Originally posted by 小浩子王子 at 2015-07-22 17:41:23
按你后來說的思路試了下，化出來感覺還是不對。答案中還有減號，我這個里面分母中全是加號。下面是我化出來的樣子

截圖20150722173134.png
...

你的分母算錯了，一看就算錯。。對你很無語啊。。認真點親，數學計算得耐心，這個別人幫不了你

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板凳要做十年冷文章不發(fā)一個字

7樓2015-07-23 09:26:08

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