版塊導(dǎo)航: 正在加載中...

登錄注冊

應(yīng)《網(wǎng)絡(luò)安全法》要求，自2017年10月1日起，未進行實名認(rèn)證將不得使用互聯(lián)網(wǎng)跟帖服務(wù)。為保障您的帳號能夠正常使用，請盡快對帳號進行手機號驗證，感謝您的理解與支持！

24小時熱門版塊排行榜

返回列表

本帖產(chǎn)生 1 個數(shù)學(xué)EPI ，點擊這里進行查看

小浩子王子

新蟲 (小有名氣)

應(yīng)助: 1 (幼兒園)
金幣: 1381.2
散金: 20
帖子: 221
在線: 91.7小時
蟲號: 3600429
注冊: 2014-12-18
專業(yè): 金屬材料

[求助] 求助：將雙曲函數(shù)cothx展開成冪級數(shù)的詳細(xì)步驟已有3人參與

最近看的一本書上說當(dāng)x<<1時，函數(shù)cothx可展開成cothx=1/x*(1+x^2/3-x^4/45+......)
并沒有給詳細(xì)步驟，想了很久也想不出。麻煩大神們給個詳細(xì)展開步驟。非常感謝！

回復(fù)此樓

» 猜你喜歡

271材料工程求調(diào)劑已經(jīng)有5人回復(fù)
281求調(diào)劑（0805）已經(jīng)有16人回復(fù)
304求調(diào)劑已經(jīng)有6人回復(fù)
材料工程專碩調(diào)劑已經(jīng)有6人回復(fù)
一志愿天大材料與化工（085600）總分338 已經(jīng)有4人回復(fù)
085700資源與環(huán)境308求調(diào)劑已經(jīng)有3人回復(fù)
求材料調(diào)劑已經(jīng)有8人回復(fù)
294求調(diào)劑材料與化工專碩已經(jīng)有5人回復(fù)
一志愿華中科技大學(xué)，080502，354分求調(diào)劑已經(jīng)有4人回復(fù)
一志愿吉林大學(xué)材料學(xué)碩321求調(diào)劑已經(jīng)有6人回復(fù)

1樓 2015-07-22 17:02:44

已閱回復(fù)此樓關(guān)注TA 給TA發(fā)消息送TA紅花 TA的回帖

回帖支持 ( 顯示支持度最高的前 50 名 )

終之太刀—曉

鐵桿木蟲 (著名寫手)

數(shù)學(xué)愛好者

數(shù)學(xué)EPI: 7
應(yīng)助: 282 (大學(xué)生)
貴賓: 0.018
金幣: 2934.2
散金: 5589
紅花: 53
帖子: 1809
在線: 401.6小時
蟲號: 3469007
注冊: 2014-10-12
性別: MM
專業(yè): 偏微分方程

引用回帖:

8樓: Originally posted by hank612 at 2015-07-23 11:02:42
請大家有點耐心，文章有點啰嗦（我不知道簡潔明快的推導(dǎo)，瀑布汗）

利用\sinh{x}=-i\sin(ix), \int \coth{x}dx=\ln(\sinh{x})+C以及
\sin{x}=x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})
知道
\coth{x}= ...

Hank612的回復(fù)是最佳結(jié)果。

本人就只好逐一拆解，寫出展開式的前幾項出來，供樓主參考：

1.png

求助：將雙曲函數(shù)cothx展開成冪級數(shù)的詳細(xì)步驟-1

2.png

求助：將雙曲函數(shù)cothx展開成冪級數(shù)的詳細(xì)步驟-2

3.png

贊一下(1人)

回復(fù)此樓

» 本帖已獲得的紅花（最新10朵）

小浩子王子

PreferenceforMathematics

9樓2015-07-23 19:43:56

已閱回復(fù)此樓關(guān)注TA 給TA發(fā)消息送TA紅花 TA的回帖

hank612

至尊木蟲 (著名寫手)

數(shù)學(xué)EPI: 14
應(yīng)助: 225 (大學(xué)生)
金幣: 14270.6
散金: 1055
紅花: 95
帖子: 1526
在線: 1375.8小時
蟲號: 2530333
注冊: 2013-07-03
性別: GG
專業(yè): 理論和計算化學(xué)

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
feixiaolin: 金幣+10 2015-07-25 22:13:33
feixiaolin: 金幣+10, 2015-07 數(shù)學(xué)版應(yīng)助金幣獎勵 2015-08-02 15:29:11

引用回帖:

9樓: Originally posted by 終之太刀—曉 at 2015-07-23 19:43:56
Hank612的回復(fù)是最佳結(jié)果。

本人就只好逐一拆解，寫出展開式的前幾項出來，供樓主參考：

1.png

2.png

3.png
...

看了終之太刀—曉的計算過程，豁然開朗，終于有了簡潔明快的證明（或說明）

終之太刀—曉給出了如下表達(dá)式：
$x\coth{x}=x+\frac{2x}{e^{2x}-1}$

https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number
根據(jù)Bernoulli數(shù)的定義
$\frac{t}{e^t-1}=\sum_{m=0}^{\infty}B_m\frac{t^m}{m!}=1-\frac{1}{2}t+\sum_{m=1}^{\infty}B_{2m}\frac{t^{2m}}{(2m)!}$

不用經(jīng)過任何計算，直接看出
$\coth{x}=\frac{1}{x}+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2^{2m}B_{2m}}{(2m)!}x^{2m-1}$

這無形中再次驗證了我敬佩的導(dǎo)師的一句話：數(shù)學(xué)，無非定義而已。

贊一下(1人)

回復(fù)此樓

We_must_know. We_will_know.

10樓2015-07-23 23:14:50

已閱回復(fù)此樓關(guān)注TA 給TA發(fā)消息送TA紅花 TA的回帖

普通回帖

bluesine

鐵桿木蟲 (職業(yè)作家)

科苑小木蟲

數(shù)學(xué)EPI: 5
應(yīng)助: 132 (高中生)
貴賓: 1.991
金幣: 9839.6
散金: 89
紅花: 19
帖子: 3617
在線: 377.4小時
蟲號: 869544
注冊: 2009-10-12
性別: GG
專業(yè): 數(shù)學(xué)物理

【答案】應(yīng)助回帖

★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
小浩子王子(feixiaolin代發(fā)): 金幣+1 2015-07-23 11:56:19

$coth(x)=\frac{exp(x)+exp(-x)}{exp(x)-exp(-x)} exp(x) =1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+... exp(-x)=1-x+x^2/2-x^3/6+x^4/24+...$
代進去計算就得到了

贊一下

回復(fù)此樓

板凳要做十年冷文章不發(fā)一個字

2樓2015-07-22 17:13:37

已閱回復(fù)此樓關(guān)注TA 給TA發(fā)消息送TA紅花 TA的回帖

bluesine

鐵桿木蟲 (職業(yè)作家)

科苑小木蟲

數(shù)學(xué)EPI: 5
應(yīng)助: 132 (高中生)
貴賓: 1.991
金幣: 9839.6
散金: 89
紅花: 19
帖子: 3617
在線: 377.4小時
蟲號: 869544
注冊: 2009-10-12
性別: GG
專業(yè): 數(shù)學(xué)物理

【答案】應(yīng)助回帖

★
小浩子王子(feixiaolin代發(fā)): 金幣+1 2015-07-23 11:56:23

分子只保留到o(x),因為x項系數(shù)為0，所以分子為2
分母展開到你想要的項，然后2可以約掉。。。就得到你要的結(jié)果

贊一下

回復(fù)此樓

板凳要做十年冷文章不發(fā)一個字

3樓2015-07-22 17:25:04

已閱回復(fù)此樓關(guān)注TA 給TA發(fā)消息送TA紅花 TA的回帖

小浩子王子

新蟲 (小有名氣)

應(yīng)助: 1 (幼兒園)
金幣: 1381.2
散金: 20
帖子: 221
在線: 91.7小時
蟲號: 3600429
注冊: 2014-12-18
專業(yè): 金屬材料

引用回帖:

2樓: Originally posted by bluesine at 2015-07-22 17:13:37
http://latex.codecogs.com/gif.latex?coth(x)=\frac{exp(x)+exp(-x)}{exp(x)-exp(-x)}&space;exp(x)&space;=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+...&spac ...

帶進去不對啊，得到的式子分子為2+x^2+x^4/12,分母為2x+x^3/3+x^5/160.化不到正確答案啊

贊一下

回復(fù)此樓

4樓2015-07-22 17:29:47

已閱回復(fù)此樓關(guān)注TA 給TA發(fā)消息送TA紅花 TA的回帖

小浩子王子

新蟲 (小有名氣)

應(yīng)助: 1 (幼兒園)
金幣: 1381.2
散金: 20
帖子: 221
在線: 91.7小時
蟲號: 3600429
注冊: 2014-12-18
專業(yè): 金屬材料

引用回帖:

3樓: Originally posted by bluesine at 2015-07-22 17:25:04
分子只保留到o(x),因為x項系數(shù)為0，所以分子為2
分母展開到你想要的項，然后2可以約掉。。。就得到你要的結(jié)果

按你后來說的思路試了下，化出來感覺還是不對。答案中還有減號，我這個里面分母中全是加號。下面是我化出來的樣子

求助：將雙曲函數(shù)cothx展開成冪級數(shù)的詳細(xì)步驟-3

截圖20150722173134.png

贊一下

回復(fù)此樓

5樓2015-07-22 17:41:23

已閱回復(fù)此樓關(guān)注TA 給TA發(fā)消息送TA紅花 TA的回帖

peterflyer

木蟲之王 (文學(xué)泰斗)

peterflyer

數(shù)學(xué)EPI: 10
應(yīng)助: 20282 (院士)
金幣: 146147
紅花: 1374
帖子: 93091
在線: 7694.3小時
蟲號: 1482829
注冊: 2011-11-08
性別: GG
專業(yè): 功能陶瓷

【答案】應(yīng)助回帖

★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
小浩子王子(feixiaolin代發(fā)): 金幣+1 2015-07-23 11:56:33

分子分母先按照exp(x)和exp(-x)進行泰勒展開，此時分母中為2*x*sum{1/(2*n+1)!*x^(2*n+1),n=0~∞}；而分子中為2*sum{1/(2*n)!*x^(2*n),n=0~∞}；此后再按照1/(1-u)=1-u+u^2-u^3+u^4-......進行展開即可。

贊一下

回復(fù)此樓

6樓2015-07-22 21:58:58

已閱回復(fù)此樓關(guān)注TA 給TA發(fā)消息送TA紅花 TA的回帖

bluesine

鐵桿木蟲 (職業(yè)作家)

科苑小木蟲

數(shù)學(xué)EPI: 5
應(yīng)助: 132 (高中生)
貴賓: 1.991
金幣: 9839.6
散金: 89
紅花: 19
帖子: 3617
在線: 377.4小時
蟲號: 869544
注冊: 2009-10-12
性別: GG
專業(yè): 數(shù)學(xué)物理

【答案】應(yīng)助回帖

引用回帖:

5樓: Originally posted by 小浩子王子 at 2015-07-22 17:41:23
按你后來說的思路試了下，化出來感覺還是不對。答案中還有減號，我這個里面分母中全是加號。下面是我化出來的樣子

截圖20150722173134.png
...

你的分母算錯了，一看就算錯。。對你很無語啊。。認(rèn)真點親，數(shù)學(xué)計算得耐心，這個別人幫不了你

贊一下

回復(fù)此樓

板凳要做十年冷文章不發(fā)一個字

7樓2015-07-23 09:26:08

已閱回復(fù)此樓關(guān)注TA 給TA發(fā)消息送TA紅花 TA的回帖

hank612

至尊木蟲 (著名寫手)

數(shù)學(xué)EPI: 14
應(yīng)助: 225 (大學(xué)生)
金幣: 14270.6
散金: 1055
紅花: 95
帖子: 1526
在線: 1375.8小時
蟲號: 2530333
注冊: 2013-07-03
性別: GG
專業(yè): 理論和計算化學(xué)

【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
小浩子王子(feixiaolin代發(fā)): 金幣+17 2015-07-23 11:55:57
feixiaolin: 數(shù)學(xué)EPI+1, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=9452448&fpage=1 EPI 2015-10-03 08:09:03

請大家有點耐心，文章有點啰嗦（我不知道簡潔明快的推導(dǎo)，瀑布汗）

利用 $\sinh{x}=-i\sin(ix)$ , $\int \coth{x}dx=\ln(\sinh{x})+C$ 以及
$\sin{x}=x\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})$
知道
$\coth{x}=\frackk22ne7{dx}\ln(-i\cdot ix \cdot \prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{(ix)^2}{n^2 \pi^2}))=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\frac{2x}{n^2\pi^2}}{1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}}$

因此 $\coth{x}-\frac{1}{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2x}{n^2\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}(-\frac{x^2}{n^2\pi^2})^k=\sum_{m=1}^{\infty}x^{2m-1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{m-1}}{(n\pi)^{2m}}$

利用 http://www.gaoyang168.com/bbs/viewthread.php?tid=8093491 里面的公式，立得 $x^{2m-1}$ 的系數(shù)為 $\frac{2(-1)^{m-1}\zeta(2m)}{\pi^{2m}}=\frac{2^{2m}B_{2m}}{(2m)!}$

大家給出的是計算方法，可以輕松得到前面幾項

贊一下

回復(fù)此樓

We_must_know. We_will_know.

8樓2015-07-23 11:02:42

已閱回復(fù)此樓關(guān)注TA 給TA發(fā)消息送TA紅花 TA的回帖

相關(guān)版塊跳轉(zhuǎn) 我要訂閱樓主小浩子王子的主題更新

返回列表

最具人氣熱帖推薦 [查看全部]		作者	回/看	最后發(fā)表

[考研] 311求調(diào)劑 +4	冬十三 2026-03-18	4/200	2026-03-18 21:47 by 盡舜堯1
[考研] 274求調(diào)劑 +5	S.H1 2026-03-18	5/250	2026-03-18 21:27 by guosr9609
[考研] 286求調(diào)劑 +6	lemonzzn 2026-03-16	9/450	2026-03-18 15:31 by vgtyfty
[考研] 085601材料工程專碩求調(diào)劑 +6	慕寒mio 2026-03-16	6/300	2026-03-18 14:26 by 007_lilei
[考研] 一志愿西南交大，求調(diào)劑 +4	材化逐夢人 2026-03-18	4/200	2026-03-18 14:22 by 007_lilei
[考研] 0703化學(xué)調(diào)劑 +4	pupcoco 2026-03-17	7/350	2026-03-18 12:14 by djl2006
[考研] 環(huán)境工程調(diào)劑 +8	大可digkids 2026-03-16	8/400	2026-03-18 09:36 by zhukairuo
[考博] 26博士申請 +3	1042136743 2026-03-17	3/150	2026-03-17 23:30 by 輕松不少隨
[考研] 26考研求調(diào)劑 +6	丶宏Sir 2026-03-13	6/300	2026-03-17 16:13 by 醉在風(fēng)里
[考研] 機械專碩325，尋找調(diào)劑院校 +3	y9999 2026-03-15	5/250	2026-03-16 19:58 by y9999
[考研] 304求調(diào)劑 +3	曼殊2266 2026-03-14	3/150	2026-03-16 16:39 by houyaoxu
[考研] 0703一志愿211 285分求調(diào)劑 +5	ly3471z 2026-03-13	5/250	2026-03-16 16:16 by 哦哦123
[考研] 070303 總分349求調(diào)劑 +3	LJY9966 2026-03-15	5/250	2026-03-16 14:24 by xwxstudy
[考研] 0703化學(xué)調(diào)劑 290分有科研經(jīng)歷，論文在投 +7	膩膩gk 2026-03-14	7/350	2026-03-16 10:12 by houyaoxu
[考研] 材料與化工 323 英一+數(shù)二+物化，一志愿：哈工大本人本科雙一流 +4	自由的_飛翔 2026-03-13	5/250	2026-03-14 19:39 by hmn_wj
[考研] 297一志愿上交085600求調(diào)劑 +5	指尖八千里 2026-03-14	5/250	2026-03-14 17:26 by a不易
[考研] 311求調(diào)劑 +3	冬十三 2026-03-13	3/150	2026-03-13 20:41 by JourneyLucky
[考研] 085600材料與化工 309分請求調(diào)劑 +7	dtdxzxx 2026-03-12	8/400	2026-03-13 14:43 by jxchenghu
[考研] 308求調(diào)劑 +3	是Lupa啊 2026-03-12	3/150	2026-03-13 14:30 by 求調(diào)劑zz
[考研] 290求調(diào)劑 +3	ADT 2026-03-13	3/150	2026-03-13 10:19 by peike

24小時熱門版塊排行榜

[求助] 求助：將雙曲函數(shù)cothx展開成冪級數(shù)的詳細(xì)步驟 已有3人參與

» 猜你喜歡

» 本帖已獲得的紅花（最新10朵）

【答案】應(yīng)助回帖

【答案】應(yīng)助回帖

【答案】應(yīng)助回帖

【答案】應(yīng)助回帖

【答案】應(yīng)助回帖

[求助] 求助：將雙曲函數(shù)cothx展開成冪級數(shù)的詳細(xì)步驟已有3人參與