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[求助] 已經(jīng)被掘地三尺的極限分析為什么還存在模糊地帶已有1人參與

從魏爾斯特拉斯建立嚴(yán)格的epsilon-delta極限定義算起，實函數(shù)的極限被數(shù)學(xué)界的各種大牛小牛玩弄了150年以上。為什么還存在模糊地帶，存在既證明不了也推翻不了的問題？比如下面這個問題：

$\lim_{x\to+\infty}f(x)x^{1-f(x)}=+\infty\Leftrightarrow\lim_{x\to+\infty}f(x)x=+\infty\land\lim_{x\to+\infty}x^{1-f(x)}=+\infty$

當(dāng)然，也可能是我水平太臭并且孤陋寡聞，所以解決不了。說不定有蟲子能找到反例或者給出證明呢。

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1樓 2015-08-14 16:09:13

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
tigou: 金幣+10, ★有幫助, 右推左的變換富有想象力，盡管不夠嚴(yán)謹(jǐn)。 2015-08-16 09:13:47

引用回帖:

5樓: Originally posted by tigou at 2015-08-15 16:54:50
盡管無人參與討論，我仍然想說：1樓命題（不妨稱之為無窮大極限猜想）和我3月份就提出的二級函數(shù)猜想共同表明，到目前為止，人類對實數(shù)的認(rèn)識還存在大片盲區(qū)，這種認(rèn)識盲區(qū)在自然數(shù)那里就已經(jīng)存在了，只不過以往人們 ...

如果 $\lim_{x\rightarrow \infty} x f(x)=+\infty$ 且 $x^{1-f(x)}\rightarrow +\infty$ ，不妨設(shè) $\lim\inf_{x\rightarrow \infty} f(x)=0+$ , 注意到 $\lim_{t\rightarrow 0+} t^t=1$ , 知道
$(f(x)x^{1-f(x)})^{\frac{1}{1-f(x)}}=xf(x)\cdot (f(x)^{f(x)})^{\frac{1}{1-f(x)}}\rightarrow +\infty$

反過來則更顯然了。由 $f(x)>0$ 知道 $x f(x)\rightarrow +\infty$ . 若 $f(x)\leq 1$ , 自然 $x^{1-f(x)}\rightarrow +\infty$ . 若 $f(x)> 1$ ,又會有 $f(x)x^{1-f(x)}-x^{1-f(x)}=\frac{f(x)-1}{x^{f(x)-1}} <1$ , 依舊有 $x^{1-f(x)}\rightarrow +\infty$ .

樓主的感慨仿佛因曲高和寡而孤芳自賞，歷史上頗有知音的，譬如
嬴政一統(tǒng)天下后YY二世三世直至萬世，不料龍行天下時圍觀黨中一人說“彼可取而代之”，一個說“大丈夫當(dāng)如是也”，這二廝后來劃鴻溝為界，瓜分了他的天下。

陳子昂才華冠絕當(dāng)世，感慨“前不見古人，后不見來者，念天地之悠悠，獨愴然而淚下”，一甲子后，詩仙詩圣詩豪等奪了萬世風(fēng)流

1900年，英國著名物理學(xué)家開爾文勛爵展望新世紀(jì)，提到物理學(xué)家的大廈已經(jīng)建成，未來的物理學(xué)家只需要做些修修補補的工作就行了�！∪欢�，事隔不到一年，從黑體輻射的問題研究中降生了量子論，緊接著，1905年從邁克爾遜實驗問題中降生了相對論。

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6樓2015-08-15 23:04:38

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盡管無人參與討論，我仍然想說：1樓命題（不妨稱之為無窮大極限猜想）和我3月份就提出的二級函數(shù)猜想共同表明，到目前為止，人類對實數(shù)的認(rèn)識還存在大片盲區(qū)，這種認(rèn)識盲區(qū)在自然數(shù)那里就已經(jīng)存在了，只不過以往人們還未意識到而已。沖破這種盲區(qū)，可能需要一次基礎(chǔ)性革命。

二級函數(shù)猜想和無窮大極限猜想。都是我在分析廣義乘性質(zhì)的過程中發(fā)現(xiàn)的，這意味著廣義乘背后隱藏著大量的未知秘密。也許，若干年回過頭來看，二級函數(shù)猜想和無窮大極限猜想就是籠罩在經(jīng)典分析上的兩朵烏云，而烏云之下隱藏的是一個嶄新的數(shù)學(xué)王國。

對廣義乘感興趣的蟲友請戳這里http://www.paper.edu.cn/html/releasepaper/2015/07/86/。

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5樓2015-08-15 16:54:50

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引用回帖:

6樓: Originally posted by hank612 at 2015-08-15 23:04:38
如果\lim_{x\rightarrow \infty} x f(x)=+\infty 且x^{1-f(x)}\rightarrow +\infty，不妨設(shè)\lim\inf_{x\rightarrow \infty} f(x)=0+, 注意到\lim_{t\rightarrow 0+} t^t=1, 知道
(f(x)x^{1-f(x)})^{\frac{1}{1-f( ...

謝謝，有一定啟發(fā)性，至少那個右推左變換是我沒想到的。但右推左的結(jié)論過于武斷，至少有三個環(huán)節(jié)經(jīng)不起細(xì)推(手機沒法輸入公式，白天向你具體指明)。另，文采不錯。

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7樓2015-08-16 00:32:48

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引用回帖:

7樓: Originally posted by tigou at 2015-08-16 00:32:48
謝謝，有一定啟發(fā)性，至少那個右推左變換是我沒想到的。但右推左的結(jié)論過于武斷，至少有三個環(huán)節(jié)經(jīng)不起細(xì)推(手機沒法輸入公式，白天向你具體指明)。另，文采不錯。
...

樓主眼光也太毒辣了，想蒙混過關(guān)都不成。趁著源文件還在，改動一下。瀑布汗

設(shè) $\lim_{x\rightarrow \infty} x f(x)=+\infty$ 且 $x^{1-f(x)}\rightarrow +\infty$ . 如果f(x)有正的下界，那么明顯 $f(x)x^{1-f(x)}$ 肯定是無窮大。當(dāng) $\lim\inf_{x\rightarrow \infty} f(x)=0+$ 時, 注意到 $\lim_{t\rightarrow 0+} t^t=1$ , 知道
$f(x)x^{1-f(x)}=(xf(x))^{1-f(x)}\cdot f(x)^{f(x)}\rightarrow +\infty$

反之，由 $f(x)>0$ 知道 $x f(x)>f(x)x^{1-f(x)}$ 是無窮大. 若 $f(x)< 1$ , 自然 $x^{1-f(x)}>f(x)x^{1-f(x)}$ 是無窮大. 若 $f(x)> 1$ ,又會有 $x^{1-f(x)}=f(x)x^{1-f(x)}-\frac{f(x)-1}{x^{f(x)-1}} > f(x)x^{1-f(x)}-1$ 還是無窮大. 這里，利用了當(dāng)a>0時， $a<e^a$ , 更別提x 遠(yuǎn)大于 e了。

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8樓2015-08-16 01:24:54

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找到一個反例：f(x)=[x]/x，其中[x]為取整函數(shù)。但主要問題并未完結(jié)。

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2樓2015-08-15 10:35:35

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設(shè)
$a\in\mathbb{R},~f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}.$
如果
$\exists b\geq a\forall x\geq b[f(x)>0]$
就稱f是正無窮大領(lǐng)域上的正函數(shù)。

一樓命題的右邊補充一個條件：1-f(x)是正無窮大鄰域上的正函數(shù)。注意，這個條件比f(x)的上極限（x趨于正無窮大時）小于1寬松，允許f(x)的上極限等于1。

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3樓2015-08-15 10:48:12

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這兩天有點走火入魔了，自己把自己繞暈了。2樓的反例錯誤。1樓命題仍然是既無法證明也無法推翻。

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4樓2015-08-15 12:27:46

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8樓: Originally posted by hank612 at 2015-08-16 01:24:54
樓主眼光也太毒辣了，想蒙混過關(guān)都不成。趁著源文件還在，改動一下。瀑布汗

設(shè)\lim_{x\rightarrow \infty} x f(x)=+\infty 且x^{1-f(x)}\rightarrow +\infty. 如果f(x)有正的下界，那么明顯 f(x)x^{1-f(x)}肯定 ...

這里只討論右推左的情況（盡管你左推右過程中的錯誤更大）。你的推導(dǎo)過程關(guān)鍵是利用了
$(1)~~\lim_{t\to 0+}t^t=1$
但你好像忘記了
$(2)~~\liminf_{x\to+\infty}f(x)=0$
與
$(3)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$
是有區(qū)別的。因此，不能通過（1）（2）得出結(jié)論
$(4)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$
更不能通過（2）得到
$(5)~~\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1-f(x)}=1$
如果缺少(4)(5). 就不能得到
$(6)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}=1$
即不能得到
$(7)~~\lim_{x\to+\infty}x(x)*f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}=1$
可見，你的推導(dǎo)過程缺失了大量重要的環(huán)節(jié)，不能被承認(rèn)為一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。特別需要注意的是，不能把下極限等于0與極限等于0混為一談。

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9樓2015-08-16 08:42:43

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引用回帖:

9樓: Originally posted by tigou at 2015-08-16 08:42:43
這里只討論右推左的情況（盡管你左推右過程中的錯誤更大）。你的推導(dǎo)過程關(guān)鍵是利用了
(1)~~\lim_{t\to 0+}t^t=1
但你好像忘記了
(2)~~\liminf_{x\to+\infty}f(x)=0
與
(3)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)=0
是有區(qū) ...

更正
$(4)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)^{f(x)}=1$

$(6)~~\lim_{x\to+\infty}f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}}=1$

$(6)~~\lim_{x\to+\infty}xf(x)*f(x)^{\frac{f(x)}{1-f(x)}}=1$

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10樓2015-08-16 08:53:00

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