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[交流] 一個(gè)看起來簡(jiǎn)單的不太容易的定積分問題已有9人參與

求如下定積分的解析形式，希望解析形式中不出現(xiàn)變量，即結(jié)果只是常量的函數(shù)形式。
比如，橢圓積分表達(dá)不符合要求。

$\int_{0}^{1}\!{\frac{x\sin\left(x\right)}{\sqrt{{x}^{5}+1}}}\,{\rm{}d}x$

此外：可積性是顯然的：

$\int_0^1{\dfrac{x\sin{x}}{\sqrt{x^5+1}}\rmcjj7xx7x$

[ Last edited by cooooldog on 2017-7-15 at 18:34 ]

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1樓 2015-08-24 08:40:01

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函數(shù) $f(x)=\frac{x\sin x}{\sqrt{1+x^5}}$ 在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，當(dāng)然可積，但是精確的積分值卻難于計(jì)算，只能求近似的數(shù)值解。

$\int_0^1\frac{x\sin x}{\sqrt{1+x^5}}dx\approx 0.262551$

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青蔥歲月圣誕夜，浪漫歌舞迎新年。

4樓2015-08-25 04:36:30

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feixiaolin

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1）如果能搞出x^2/sqrt(1+x^5)的傅里葉變換解析式，或拉普拉斯變換解析式，次積分可以有解析表達(dá)。
2）有限項(xiàng)級(jí)數(shù)近似。

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3樓2015-08-24 21:48:40

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在零點(diǎn)展開成無窮級(jí)數(shù)，泰勒或者傅立葉級(jí)數(shù)都可以，然后積分就可以了。也是一個(gè)求極限的問題。

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絕塵。

6樓2015-08-25 05:28:23

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引用回帖:

3樓: Originally posted by feixiaolin at 2015-08-24 21:48:40
1）如果能搞出x^2/sqrt(1+x^5)的傅里葉變換解析式，或拉普拉斯變換解析式，次積分可以有解析表達(dá)。
2）有限項(xiàng)級(jí)數(shù)近似。

我嘗試符號(hào)計(jì)算傅立葉變換，然后得到一個(gè)很長(zhǎng)的很復(fù)雜的式子。

到底有多長(zhǎng)呢？
我嘗試貼圖但是傳不上來。

把公式排成一列放長(zhǎng)安街上，站在公式的尾部，一眼望過去看不到公司的頭部

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7樓2015-08-25 07:23:48

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bluesine

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int('x*sin(x)*(x^5+1)^(-1/5)',0,1)

ans =

pi^(1/2)*gamma(4/5)*5^(1/2)*2^(1/5)*(-1)^(1/5)*(1/2/pi^(1/2)*csc(2/5*pi)*sin(1/10*pi)*gamma(4/5)^2/gamma(7/10)^2*hypergeom([],[1/5, 2/5, 1/2, 3/5, 7/10, 7/10, 9/10, 11/10, 6/5],-1/10000000000)-1/24/pi*hypergeom([1],[2/5, 3/5, 7/10, 4/5, 9/10, 9/10, 11/10, 6/5, 13/10, 7/5],-1/10000000000)*tan(3/10*pi)*sin(1/10*pi)*gamma(3/5)/gamma(9/10)+1/720*2^(1/5)/pi*hypergeom([],[3/5, 4/5, 9/10, 11/10, 11/10, 13/10, 7/5, 3/2, 8/5],-1/10000000000)*sin(1/10*pi)*csc(1/5*pi)*csc(2/5*pi)/csc(3/10*pi)*gamma(7/10)-1/60480*2^(1/5)/pi*hypergeom([],[4/5, 11/10, 6/5, 13/10, 13/10, 3/2, 8/5, 17/10, 9/5],-1/10000000000)*csc(2/5*pi)^2*cos(1/5*pi)/csc(3/10*pi)*gamma(7/10)+1/30240000*hypergeom([],[6/5, 13/10, 7/5, 3/2, 3/2, 17/10, 9/5, 19/10, 2],-1/10000000000)*sec(1/10*pi)*cot(1/5*pi)*gamma(3/5)/gamma(9/10)+2*i*pi*(1/4*2^(1/5)/pi^(3/2)*csc(2/5*pi)*sin(1/10*pi)*gamma(9/10)/gamma(7/10)*(-1)^(1/5)*hypergeom([],[1/5, 2/5, 1/2, 3/5, 7/10, 7/10, 9/10, 11/10, 6/5],-1/10000000000)-1/48*2^(4/5)*(-1)^(2/5)/pi^(3/2)*hypergeom([1],[2/5, 3/5, 7/10, 4/5, 9/10, 9/10, 11/10, 6/5, 13/10, 7/5],-1/10000000000)*tan(3/10*pi)*sin(1/10*pi)/gamma(4/5)+1/720*2^(1/5)/pi^2*csc(1/5*pi)*sin(1/10*pi)*sin(3/10*pi)*gamma(7/10)*(-1)^(3/5)*hypergeom([],[3/5, 4/5, 9/10, 11/10, 11/10, 13/10, 7/5, 3/2, 8/5],-1/10000000000)-1/120960*2^(1/5)/pi^2*csc(2/5*pi)*cos(1/5*pi)*gamma(7/10)*(-1)^(4/5)*hypergeom([],[4/5, 11/10, 6/5, 13/10, 13/10, 3/2, 8/5, 17/10, 9/5],-1/10000000000)))

以上為matlab code...有耐心自己去搞定

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板凳要做十年冷文章不發(fā)一個(gè)字

10樓2015-08-25 08:23:26

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橢圓積分!
只能數(shù)值解!

>> quad('x.*sin(x).*(1+x.^5).^(1/2)',0,1)
ans =
0.3494

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善惡到頭終有報(bào),人間正道是滄桑.

2樓2015-08-24 16:49:47

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樓主你能別開玩笑嗎？

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5樓2015-08-25 05:20:30

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5樓: Originally posted by 俄羅斯棕熊 at 2015-08-25 05:20:30
樓主你能別開玩笑嗎？

你好像很懂。解釋下。

就算用橢圓積分也行，表示出來

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8樓2015-08-25 07:25:17

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引用回帖:

7樓: Originally posted by cooooldog at 2015-08-25 07:23:48

...

1）不行，就選2）。

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9樓2015-08-25 08:03:05

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