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Medichen銅蟲 (小有名氣)
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[求助]
|A+a*B|對a的導數(shù)怎么求？ 已有2人參與
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如題，A和B均為已知的對稱矩陣，a為一標量，||表示行列式。 那么|A+a*B|對a的導數(shù)怎么求呢？ 如果特殊一點的話，A為一對角陣，那么根據(jù)特征分解，其整個行列式對a的導數(shù)很容易通過特征值表示出來。但對于更一般的對稱陣A貌似通過特征分解不好求，請問大家有其他解法嗎？ 謝謝大家了 （ps. 這不是數(shù)學作業(yè)題，而是我在做算法時遇到的一個問題） |
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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我的思路是這樣的 根據(jù)導數(shù)的定義|A+aB|的導數(shù)應(yīng)該是(|A+(a+da)B|-|A+aB|)/da當da趨于0時的極限 可以把|A+(a+da)B|=|(A+aB)+daB|用行列式加法展開成若干個行列式的和，而且每個行列式中任意一列要么是|A+aB|當中的對應(yīng)列要么是|daB|當中的對應(yīng)列 易知，當上述行列式中有兩個或以上|daB|中的對應(yīng)列時，這個行列式就是da的高階無窮小；當上述行列式中沒有|daB|中的對應(yīng)列時，就是|A+aB| 所以|A+aB|的導數(shù)就是n個行列式的和，期中每個行列式中都有一列是|B|當中的對應(yīng)列，其他列都是|A+aB|當中的對應(yīng)列 因為上面的過程中并沒有用到對稱這個條件，所以這個結(jié)果應(yīng)該還可以化簡。 PS：另外一個思路是|A+aB|一定是一個關(guān)于a的n次多項式，可以考慮它的n個根……但是我沒有想到比較好的方法。 |
2樓2015-10-13 17:47:22
zaq123321
專家顧問 (著名寫手)
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【答案】應(yīng)助回帖
★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
Medichen: 金幣+5, ★★★★★最佳答案 2015-10-13 21:09:54
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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Jacobi's formula see https://en.m.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_formula [ 發(fā)自手機版 http://www.gaoyang168.com/3g ] |
3樓2015-10-13 18:12:00
Medichen
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4樓2015-10-13 21:09:55
Medichen
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5樓2015-10-13 21:26:36
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