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Medichen銅蟲 (小有名氣)
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[求助]
|A+a*B|對(duì)a的導(dǎo)數(shù)怎么求？ 已有2人參與
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如題，A和B均為已知的對(duì)稱矩陣，a為一標(biāo)量，||表示行列式。 那么|A+a*B|對(duì)a的導(dǎo)數(shù)怎么求呢？ 如果特殊一點(diǎn)的話，A為一對(duì)角陣，那么根據(jù)特征分解，其整個(gè)行列式對(duì)a的導(dǎo)數(shù)很容易通過(guò)特征值表示出來(lái)。但對(duì)于更一般的對(duì)稱陣A貌似通過(guò)特征分解不好求，請(qǐng)問(wèn)大家有其他解法嗎？ 謝謝大家了 （ps. 這不是數(shù)學(xué)作業(yè)題，而是我在做算法時(shí)遇到的一個(gè)問(wèn)題） |
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Medichen
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5樓2015-10-13 21:26:36
0404600213
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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我的思路是這樣的 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義|A+aB|的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該是(|A+(a+da)B|-|A+aB|)/da當(dāng)da趨于0時(shí)的極限 可以把|A+(a+da)B|=|(A+aB)+daB|用行列式加法展開成若干個(gè)行列式的和，而且每個(gè)行列式中任意一列要么是|A+aB|當(dāng)中的對(duì)應(yīng)列要么是|daB|當(dāng)中的對(duì)應(yīng)列 易知，當(dāng)上述行列式中有兩個(gè)或以上|daB|中的對(duì)應(yīng)列時(shí)，這個(gè)行列式就是da的高階無(wú)窮小；當(dāng)上述行列式中沒(méi)有|daB|中的對(duì)應(yīng)列時(shí)，就是|A+aB| 所以|A+aB|的導(dǎo)數(shù)就是n個(gè)行列式的和，期中每個(gè)行列式中都有一列是|B|當(dāng)中的對(duì)應(yīng)列，其他列都是|A+aB|當(dāng)中的對(duì)應(yīng)列 因?yàn)樯厦娴倪^(guò)程中并沒(méi)有用到對(duì)稱這個(gè)條件，所以這個(gè)結(jié)果應(yīng)該還可以化簡(jiǎn)。 PS：另外一個(gè)思路是|A+aB|一定是一個(gè)關(guān)于a的n次多項(xiàng)式，可以考慮它的n個(gè)根……但是我沒(méi)有想到比較好的方法。 |
2樓2015-10-13 17:47:22
zaq123321
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【答案】應(yīng)助回帖
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Jacobi's formula see https://en.m.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_formula [ 發(fā)自手機(jī)版 http://www.gaoyang168.com/3g ] |
3樓2015-10-13 18:12:00
Medichen
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