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量子力學(xué)問題 已有7人參與
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| 怎么理解不對(duì)易的算符也可能有不完備的共同本征態(tài)？ |
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華麗的飄過: 金幣+3, 3q 2015-11-04 22:23:21
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算符的性質(zhì)成立是一個(gè)普遍關(guān)系，不依賴基底選擇；這等價(jià)于擁有完備的共同本征態(tài)。 在考慮基底的情況下，考慮算符的矩陣形式，在同一組完備基下，有可能兩個(gè)算符的矩陣元恰好有一部分都是局部對(duì)角化的。那么這個(gè)矩陣元對(duì)應(yīng)的態(tài)就可以看作兩個(gè)算符的共同本征態(tài)。 物理上，算符作用在態(tài)上，代表了一種對(duì)態(tài)的操作，那么會(huì)存在一種態(tài)，所謂本征態(tài)，則是操作完成后的新態(tài)與初態(tài)只差一個(gè)常數(shù)因子。如果有兩種操作對(duì)于一個(gè)態(tài)的操作都導(dǎo)致這樣的結(jié)果，則這個(gè)態(tài)就是這兩個(gè)算符的共同本征態(tài)。 最常用的特例就是角動(dòng)量的任何兩個(gè)分量的0本征態(tài)一樣。 |
6樓2015-11-03 14:24:50
★
小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖
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假如說，有兩個(gè)算符 A 和 B是有共同的本征態(tài)的，|an，bn> A |an,bn>=an |an,bn> B |an,bn>=bn |an,bn> 那么 [A,B] |an, bn> =（ an*bn - bn * an ）|an,bn> = 0 |an, bn> = 0, 現(xiàn)在， 我們要求 [A, B] = C, 算符C不等于0 那么就是要求 C |an, bn>=0 也就是說|an, bn> = 0 更加準(zhǔn)確的寫法是 |an, bn> = |null> 任何一個(gè)算符作用到|null>上都是 0|null>=0 它可以是如何一個(gè)算符的本征態(tài)。 任何一個(gè)希爾伯特空間里都有這樣一個(gè)|null>矢量，它在歐幾里得空間是零點(diǎn)。 但是，|null>不完備，實(shí)際上，|null>除了能表達(dá)自己以外，不能獨(dú)立的表達(dá)任何非|null>的矢量。 |
8樓2015-11-05 11:32:00
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10樓2015-11-05 21:07:05
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