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小木蟲論壇-學術科研互動平臺 » 專業(yè)學科區(qū) » 數(shù)學 » 基礎數(shù)學 » 泰勒公式
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Veren Elen新蟲 (初入文壇)
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[求助]
泰勒公式 已有5人參與
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| 為什么n+1階可導函數(shù)可以用n階泰勒公式表示？為什么函數(shù)能用級數(shù)來表示呢？ |
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簡單的說，當函數(shù)有n+1階導數(shù)時，光滑性就足夠好，當我們用n階泰勒公式展開近似時，其近似誤差就可以嚴格估計，就是后面的余項。當任意階可導時，n趨近于無窮大時泰勒展開式均成立，切余項趨近于零，就成了泰勒級數(shù) 發(fā)自小木蟲Android客戶端 |
2樓2015-11-07 16:31:12
0404600213
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【答案】應助回帖
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感謝參與，應助指數(shù) +1
Edstrayer: 金幣+2 2015-11-08 01:15:01
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我估計你的老師講泰勒公式的時候沒講證明 泰勒公式可以從微分求近似值的公式和洛必達法則得到的。 因為f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+r1(x)，根據(jù)導數(shù)的定義我們知道r1(x)是x-x0的高階無窮小 如果f(x)二階可導，那么r1(x)也應該是二階可導的 兩次運用洛必達法則可以證明 當x趨向x0時,[r1(x)-r1(x0)]/(x-x0)^2的極限是f''(x0)/2! 所以r1(x)=[f''(x0)/2!]*(x-x0)^2+r2(x)，其中r2(x)是(x-x0)^2的高階無窮小 把r1(x)的表達式代入最上面的式子可以得到二階泰勒公式 以此類推可以得到n階泰勒公式 至于為什么n+1階導才有n階泰勒公式是因為在寫余項的時候需要用拉格朗日中值定理估值，而拉格朗日定理又要求函數(shù)可導……所以…… |
3樓2015-11-07 17:11:17
0404600213
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4樓2015-11-07 17:13:02
peterflyer 
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5樓2015-11-07 19:03:22
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6樓2015-11-07 19:51:26
感謝參與，應助指數(shù) +1
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7樓2015-11-07 20:16:09
hylpy
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8樓2015-11-07 22:40:26
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9樓2015-11-08 21:41:10
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