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Veren Elen新蟲 (初入文壇)
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[求助]
泰勒公式 已有5人參與
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| 為什么n+1階可導(dǎo)函數(shù)可以用n階泰勒公式表示？為什么函數(shù)能用級數(shù)來表示呢？ |
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4樓2015-11-07 17:13:02
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簡單的說，當(dāng)函數(shù)有n+1階導(dǎo)數(shù)時，光滑性就足夠好，當(dāng)我們用n階泰勒公式展開近似時，其近似誤差就可以嚴(yán)格估計，就是后面的余項(xiàng)。當(dāng)任意階可導(dǎo)時，n趨近于無窮大時泰勒展開式均成立，切余項(xiàng)趨近于零，就成了泰勒級數(shù) 發(fā)自小木蟲Android客戶端 |
2樓2015-11-07 16:31:12
0404600213
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【答案】應(yīng)助回帖
★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
Edstrayer: 金幣+2 2015-11-08 01:15:01
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
Edstrayer: 金幣+2 2015-11-08 01:15:01
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我估計你的老師講泰勒公式的時候沒講證明 泰勒公式可以從微分求近似值的公式和洛必達(dá)法則得到的。 因?yàn)閒(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+r1(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義我們知道r1(x)是x-x0的高階無窮小 如果f(x)二階可導(dǎo)，那么r1(x)也應(yīng)該是二階可導(dǎo)的 兩次運(yùn)用洛必達(dá)法則可以證明 當(dāng)x趨向x0時,[r1(x)-r1(x0)]/(x-x0)^2的極限是f''(x0)/2! 所以r1(x)=[f''(x0)/2!]*(x-x0)^2+r2(x)，其中r2(x)是(x-x0)^2的高階無窮小 把r1(x)的表達(dá)式代入最上面的式子可以得到二階泰勒公式 以此類推可以得到n階泰勒公式 至于為什么n+1階導(dǎo)才有n階泰勒公式是因?yàn)樵趯懹囗?xiàng)的時候需要用拉格朗日中值定理估值，而拉格朗日定理又要求函數(shù)可導(dǎo)……所以…… |
3樓2015-11-07 17:11:17
peterflyer 
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5樓2015-11-07 19:03:22
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