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yahoohoo

鐵桿木蟲 (著名寫手)

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[交流] 【在線答疑】經(jīng)典粒子體系的Monte Carlo 模擬之基礎(chǔ)篇已有29人參與

應(yīng)版主lei0736之盛情相邀，特開(kāi)此貼，雖名為分享，實(shí)為討論，希望與初學(xué)者以及從事MC研究的同行一起交流。第一篇關(guān)于粒子體系的MC模擬基礎(chǔ)，欲將涉及以下幾個(gè)概念與問(wèn)題：

概念:
正則系綜、相空間、概率密度、細(xì)致平衡(Detailed Balance)、Metropolis重要性抽樣

問(wèn)題:
(1) 為什么用MC？
(2) MC能做什么？不能做什么？
(3) 怎么做MC？

討論中打算在適當(dāng)之處添加一些偽代碼(c++)以供理解。

歡迎大家多提寶貴意見(jiàn)。

[ Last edited by lei0736 on 2009-12-21 at 18:04 ]

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1樓 2009-12-21 16:53:16

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鐵桿木蟲 (著名寫手)

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lei0736(金幣+10,VIP+0):呵呵值得推薦 12-22 09:57
zeoliters(金幣+5,VIP+0):謝謝！ 12-25 16:25

引用回帖:

Originally posted by lei0736 at 2009-12-21 18:55:
祝賀開(kāi)貼
順便問(wèn)下細(xì)致平衡條件的重要性如何
以及如何在模擬中注意哪些事項(xiàng)以保證細(xì)致平衡條件

Detailed balance 用公式表示為
$P(\mathrm{o}) \alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n}) P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})= P(\mathrm{n}) \alpha(\mathrm{n}\to\mathrm{o}) P_\mathrm{acc}(\mathrm{n}\to\mathrm{o})$
其中， $P(\mathrm{o})$ 表示微觀態(tài)或微觀構(gòu)象 $\mathrm{o}$ 的概率(或幾率)密度分布，在NVT系綜中 $P(\mathrm{o})=\frac{e^{-\beta U(\mathrm{o})}}{\int\mathrmlvneopq\Gamma e^{-\beta U(\Gamma)}}$ ，即Boltzmann分布。 $\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 表示從構(gòu)象 $\mathrm{o}$ 到構(gòu)象 $\mathrm{n}$ 所設(shè)計(jì)進(jìn)行的嘗試運(yùn)動(dòng)的幾率，而 $P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 則是接受從構(gòu)象 $\mathrm{o}$ 到構(gòu)象 $\mathrm{n}$ 的嘗試運(yùn)動(dòng)的幾率，因此 $\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n}) P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 表示從構(gòu)象 $\mathrm{o}$ 到構(gòu)象 $\mathrm{n}$ 的轉(zhuǎn)移幾率。用簡(jiǎn)單的語(yǔ)言描述，Detailed balance 是指從構(gòu)象 $\mathrm{o}$ 到構(gòu)象 $\mathrm{n}$ 的流量(flow)等于從構(gòu)象 $\mathrm{n}$ 到構(gòu)象 $\mathrm{o}$ 的流量，這也就是所謂的微觀可逆性。

Detailed balance 的重要性在于 (1) 保證在有限的MC步數(shù)內(nèi)達(dá)到所需的平衡概率分布[c.f. M.E.J. Newman & G.T. Barkema, Monte Carlo Methods in Statistical Physics, Oxford]，這一點(diǎn)有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，我們只需要知道這個(gè)結(jié)論就可以了； (2) 達(dá)到平衡后平衡就不再被破壞，這意味著根據(jù)MC算法產(chǎn)生的構(gòu)象將滿足平衡概率分布。

滿足Detailed balance 公式的 $P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 解有很多，使用最為廣泛的當(dāng)屬M(fèi)etropolis 算法：

$P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})=\mathrm{min}\left\{1.0, \frac{P(\mathrm{n}) \alpha(\mathrm{n}\to\mathrm{o})}{P(\mathrm{o}) \alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n})} \right\}$
這里， $P(\mathrm{o})/P(\mathrm{n})$ 是已知的，對(duì)于NVT系綜，
$\frac{P(\mathrm{o})}{P(\mathrm{n})}=e^{-\beta\bigl\{U(\mathrm{n})-U(\mathrm{o})\bigr\}}$ 。而 $\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ ( $\alpha(\mathrm{n}\to\mathrm{o})$ )取決于我們?cè)O(shè)計(jì)的Monte Carlo運(yùn)動(dòng)(move)是如何由構(gòu)象 $\mathrm{o}$ ( $\mathrm{n}$ )到構(gòu)象 $\mathrm{n}$ ( $\mathrm{o}$ )的。例如對(duì)于簡(jiǎn)單的粒子體系，我們現(xiàn)在設(shè)計(jì)隨機(jī)移動(dòng)一個(gè)粒子的位置，偽代碼為

int ichosen = int(Ntot * mt19937.getReal3()); // Ntot: 粒子的數(shù)目; mt19937.getReal3()返回(0, 1)之間的隨機(jī)數(shù)
double stepsize = 0.5 * sigma_LJ; //假設(shè)LJ 粒子體系, sigma_LJ為L(zhǎng)J直徑. 在實(shí)際模擬中一般需要調(diào)節(jié)stepsize的大小以獲得一定的嘗試運(yùn)動(dòng)成功率, 例如30%.
for (int j = 0; j < 3; ++j)
 xn[ichosen][j] = xo[ichosen][j] + stepsize * (mt19937.getReal3()-0.5); //(2.0*mt19937.getReal3()-1.0)返回(-0.5,0.5)的隨機(jī)值.

這段代碼的for循環(huán)實(shí)現(xiàn)的是以隨機(jī)選取的粒子的原有位置xo[ichosen]為中心所形成的邊長(zhǎng)為 stepsize的正方體內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)新的位置xn[ichosen]，那么， $\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n}) \propto \mathrm{stepsize}^{-3}$ ，因?yàn)閟tepsize * (mt19937.getReal3()-0.5) 保證了由舊位置到新位置的嘗試運(yùn)動(dòng)幾率等于由新位置到舊位置的嘗試運(yùn)動(dòng)幾率，所以這里 $\alpha(\mathrm{n}\to\mathrm{o})=\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 。有了這樣設(shè)計(jì)的嘗試運(yùn)動(dòng)再加上利用 Metropolis 算法 $P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})=\mathrm{min}\left\{1.0, P(\mathrm{n})/ P(\mathrm{o})\right\}$ 來(lái)判斷是否接受這樣的嘗試運(yùn)動(dòng)，達(dá)到平衡后的構(gòu)象分布就已經(jīng)滿足我們想要抽樣的統(tǒng)計(jì)概率 $P(\Gamma)$ 分布了。

簡(jiǎn)單一句話， 通過(guò)Detailed balance設(shè)計(jì)MC嘗試運(yùn)動(dòng)，保證我們能達(dá)到平衡而且平衡后的構(gòu)象滿足我們想要的概率分布。

仍然以NVT系綜為例，任意可測(cè)量量 $\mathcal{O}$ 的統(tǒng)計(jì)定義為
$\langle \mathcal{O} \rangle_\mathrm{NVT} = \frac{\int\mathrmee7pqyp\Gamma\mathcal{O}(\Gamma) e^{-\beta U(\Gamma)}}{\int\mathrmfq7i2np\Gamma e^{-\beta U(\Gamma)}} =\sum\limits_{i=1}^{N_\mathrm{sample}} P_\mathrm{NVT}(\Gamma_i)\mathcal{O}(\Gamma_i)$
需要注意的是：我們已經(jīng)知道 達(dá)到平衡后的構(gòu)象分布就已經(jīng)滿足我們想要抽樣的統(tǒng)計(jì)概率 $P(\Gamma)$ 分布了，這就表明在MC中，
$\langle \mathcal{O} \rangle_\mathrm{NVT} = \sum\limits_{i=1}^{N_\mathrm{sample}} \mathcal{O}(\Gamma_i)$

因?yàn)镸C所產(chǎn)生的平衡構(gòu)象 $\Gamma_i$ 已經(jīng)滿足平衡分布 $P_\mathrm{NVT}(\Gamma_i)$ 了。

[ Last edited by yahoohoo on 2009-12-22 at 04:21 ]

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4樓2009-12-21 22:28:15

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順便問(wèn)下細(xì)致平衡條件的重要性如何
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2樓2009-12-21 18:55:47

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lei0736(金幣+1):歡迎參與討論 2010-01-30 17:00

請(qǐng)問(wèn)用MC做表面活性劑自組裝和高分子稀溶液自組裝的可靠性？
看過(guò)很多文章，貌似用MC做同樣的體系和用SCFT,DPD做出來(lái)的結(jié)論大不相同。謝謝！

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3樓2009-12-21 21:13:07

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lei0736(金幣+5,VIP+0):謝謝 12-22 09:58

引用回帖:

Originally posted by qzhaosdu at 2009-12-21 21:13:
請(qǐng)問(wèn)用MC做表面活性劑自組裝和高分子稀溶液自組裝的可靠性？
看過(guò)很多文章，貌似用MC做同樣的體系和用SCFT,DPD做出來(lái)的結(jié)論大不相同。謝謝！

不知你所說(shuō)的可靠性是什么？如果采用的模型合理、算法以及程序沒(méi)有問(wèn)題，那得到的結(jié)果就應(yīng)該是可靠的。

至于跟其他方法比較的結(jié)論大不相同，我沒(méi)有看過(guò)很多這方面的文章，不過(guò)需要注意的是 SCFT一般都是平均場(chǎng)處理，因此漲落(fluctuation)是被忽略的，而在相分離過(guò)程中這是不對(duì)的，Marcus Mueller就是做SCFT和MC對(duì)比的，我沒(méi)有看到你所謂的大不相同的結(jié)論。而DPD雖然是一種很流行的研究自組裝的方法，但是它所用的相互作用參數(shù)過(guò)于簡(jiǎn)單，是否丟掉了部分物理內(nèi)涵也不清楚。譬如說(shuō)，DPD就不能模擬高分子融體的纏結(jié)問(wèn)題。

[ Last edited by yahoohoo on 2009-12-21 at 22:50 ]

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5樓2009-12-21 22:48:57

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