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鐵桿木蟲 (著名寫手)

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[交流] 【在線答疑】經(jīng)典粒子體系的Monte Carlo 模擬之基礎篇已有29人參與

應版主lei0736之盛情相邀，特開此貼，雖名為分享，實為討論，希望與初學者以及從事MC研究的同行一起交流。第一篇關于粒子體系的MC模擬基礎，欲將涉及以下幾個概念與問題：

概念:
正則系綜、相空間、概率密度、細致平衡(Detailed Balance)、Metropolis重要性抽樣

問題:
(1) 為什么用MC？
(2) MC能做什么？不能做什么？
(3) 怎么做MC？

討論中打算在適當之處添加一些偽代碼(c++)以供理解。

歡迎大家多提寶貴意見。

[ Last edited by lei0736 on 2009-12-21 at 18:04 ]

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1樓 2009-12-21 16:53:16

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yahoohoo

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lei0736(金幣+5,VIP+0):謝謝 12-22 09:58

引用回帖:

Originally posted by qzhaosdu at 2009-12-21 21:13:
請問用MC做表面活性劑自組裝和高分子稀溶液自組裝的可靠性？
看過很多文章，貌似用MC做同樣的體系和用SCFT,DPD做出來的結論大不相同。謝謝！

不知你所說的可靠性是什么？如果采用的模型合理、算法以及程序沒有問題，那得到的結果就應該是可靠的。

至于跟其他方法比較的結論大不相同，我沒有看過很多這方面的文章，不過需要注意的是 SCFT一般都是平均場處理，因此漲落(fluctuation)是被忽略的，而在相分離過程中這是不對的，Marcus Mueller就是做SCFT和MC對比的，我沒有看到你所謂的大不相同的結論。而DPD雖然是一種很流行的研究自組裝的方法，但是它所用的相互作用參數(shù)過于簡單，是否丟掉了部分物理內涵也不清楚。譬如說，DPD就不能模擬高分子融體的纏結問題。

[ Last edited by yahoohoo on 2009-12-21 at 22:50 ]

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5樓2009-12-21 22:48:57

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小木蟲(金幣+0.5):給個紅包，謝謝回帖交流

在MD模擬里有平衡和非平衡的MD
那么有沒有平衡MC和非平衡MC之分？
他們之間有哪些區(qū)別與聯(lián)系？是否非平衡MC不需要滿足細致平衡條件？
如果有區(qū)別他們各自應用的領域特點又是什么？

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6樓2009-12-22 10:01:06

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lei0736(金幣+3,VIP+0):謝謝 12-22 21:44

引用回帖:

Originally posted by lei0736 at 2009-12-22 10:01:
在MD模擬里有平衡和非平衡的MD
那么有沒有平衡MC和非平衡MC之分？
他們之間有哪些區(qū)別與聯(lián)系？是否非平衡MC不需要滿足細致平衡條件？
如果有區(qū)別他們各自應用的領域特點又是什么？

沒聽說過非平衡MC，所以我不確定有沒有。不過有所謂的kinetic MC，有人用來模擬硬球體系的結晶成核速率。至于是否需要滿足細致平衡條件，我想應該還是要滿足的。

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7樓2009-12-22 20:52:24

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lei0736(金幣+1):歡迎參與討論 2010-01-30 17:01

聽說過好多MC的種類。格點模型的，非格點模型的。已經(jīng)摟住說的kinetic MC，但不知道 KMC是否都是格點模型的

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8樓2009-12-23 04:30:11

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小木蟲(金幣+0.5):給個紅包，謝謝回帖交流

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Originally posted by yahoohoo at 2009-12-21 16:53:
應版主lei0736之盛情相邀，特開此貼，雖名為分享，實為討論，希望與初學者以及從事MC研究的同行一起交流。第一篇關于粒子體系的MC模擬基礎，欲將涉及以下幾個概念與問題：

概念:
正則系綜、相空間、概率密度、 ...

樓主，寫偽碼的時候，如果設計mc的算法，能否提示是用哪種算法？

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9樓2009-12-23 04:32:19

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lei0736(金幣+2,VIP+0):謝謝 12-23 17:51

引用回帖:

Originally posted by coy123 at 2009-12-23 04:30:
聽說過好多MC的種類。格點模型的，非格點模型的。已經(jīng)摟住說的kinetic MC，但不知道 KMC是否都是格點模型的

可以是lattice MC，也可以是off-lattice MC

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10樓2009-12-23 16:50:03

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lei0736(金幣+3,VIP+0):謝謝 1-3 09:17

最重要的是設定收斂條件，根據(jù)規(guī)模的大小選擇算法。現(xiàn)在模擬的規(guī)模越來越大，精度越來越高，需要并行設計如mpi，openmpi。
另外，針對化學反應體系，reaction-diffusion model越來越多，這樣的書籍也越來越多，如果需要我可以提供幾本

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20樓2010-01-01 13:54:47

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祝賀開貼
順便問下細致平衡條件的重要性如何
以及如何在模擬中注意哪些事項以保證細致平衡條件

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2樓2009-12-21 18:55:47

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lei0736(金幣+1):歡迎參與討論 2010-01-30 17:00

請問用MC做表面活性劑自組裝和高分子稀溶液自組裝的可靠性？
看過很多文章，貌似用MC做同樣的體系和用SCFT,DPD做出來的結論大不相同。謝謝！

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3樓2009-12-21 21:13:07

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lei0736(金幣+10,VIP+0):呵呵值得推薦 12-22 09:57
zeoliters(金幣+5,VIP+0):謝謝！ 12-25 16:25

引用回帖:

Originally posted by lei0736 at 2009-12-21 18:55:
祝賀開貼
順便問下細致平衡條件的重要性如何
以及如何在模擬中注意哪些事項以保證細致平衡條件

Detailed balance 用公式表示為
$P(\mathrm{o}) \alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n}) P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})= P(\mathrm{n}) \alpha(\mathrm{n}\to\mathrm{o}) P_\mathrm{acc}(\mathrm{n}\to\mathrm{o})$
其中， $P(\mathrm{o})$ 表示微觀態(tài)或微觀構象 $\mathrm{o}$ 的概率(或幾率)密度分布，在NVT系綜中 $P(\mathrm{o})=\frac{e^{-\beta U(\mathrm{o})}}{\int\mathrmfdhntfl\Gamma e^{-\beta U(\Gamma)}}$ ，即Boltzmann分布。 $\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 表示從構象 $\mathrm{o}$ 到構象 $\mathrm{n}$ 所設計進行的嘗試運動的幾率，而 $P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 則是接受從構象 $\mathrm{o}$ 到構象 $\mathrm{n}$ 的嘗試運動的幾率，因此 $\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n}) P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 表示從構象 $\mathrm{o}$ 到構象 $\mathrm{n}$ 的轉移幾率。用簡單的語言描述，Detailed balance 是指從構象 $\mathrm{o}$ 到構象 $\mathrm{n}$ 的流量(flow)等于從構象 $\mathrm{n}$ 到構象 $\mathrm{o}$ 的流量，這也就是所謂的微觀可逆性。

Detailed balance 的重要性在于 (1) 保證在有限的MC步數(shù)內達到所需的平衡概率分布[c.f. M.E.J. Newman & G.T. Barkema, Monte Carlo Methods in Statistical Physics, Oxford]，這一點有嚴格的數(shù)學證明，我們只需要知道這個結論就可以了； (2) 達到平衡后平衡就不再被破壞，這意味著根據(jù)MC算法產(chǎn)生的構象將滿足平衡概率分布。

滿足Detailed balance 公式的 $P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 解有很多，使用最為廣泛的當屬Metropolis 算法：

$P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})=\mathrm{min}\left\{1.0, \frac{P(\mathrm{n}) \alpha(\mathrm{n}\to\mathrm{o})}{P(\mathrm{o}) \alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n})} \right\}$
這里， $P(\mathrm{o})/P(\mathrm{n})$ 是已知的，對于NVT系綜，
$\frac{P(\mathrm{o})}{P(\mathrm{n})}=e^{-\beta\bigl\{U(\mathrm{n})-U(\mathrm{o})\bigr\}}$ 。而 $\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ ( $\alpha(\mathrm{n}\to\mathrm{o})$ )取決于我們設計的Monte Carlo運動(move)是如何由構象 $\mathrm{o}$ ( $\mathrm{n}$ )到構象 $\mathrm{n}$ ( $\mathrm{o}$ )的。例如對于簡單的粒子體系，我們現(xiàn)在設計隨機移動一個粒子的位置，偽代碼為

int ichosen = int(Ntot * mt19937.getReal3()); // Ntot: 粒子的數(shù)目; mt19937.getReal3()返回(0, 1)之間的隨機數(shù)
double stepsize = 0.5 * sigma_LJ; //假設LJ 粒子體系,  sigma_LJ為LJ直徑. 在實際模擬中一般需要調節(jié)stepsize的大小以獲得一定的嘗試運動成功率, 例如30%.
for (int j = 0; j < 3; ++j)
  xn[ichosen][j] = xo[ichosen][j] + stepsize * (mt19937.getReal3()-0.5); //(2.0*mt19937.getReal3()-1.0)返回(-0.5,0.5)的隨機值.

這段代碼的for循環(huán)實現(xiàn)的是以隨機選取的粒子的原有位置xo[ichosen]為中心所形成的邊長為 stepsize的正方體內隨機產(chǎn)生一個新的位置xn[ichosen]，那么， $\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n}) \propto \mathrm{stepsize}^{-3}$ ，因為stepsize * (mt19937.getReal3()-0.5) 保證了由舊位置到新位置的嘗試運動幾率等于由新位置到舊位置的嘗試運動幾率，所以這里 $\alpha(\mathrm{n}\to\mathrm{o})=\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 。有了這樣設計的嘗試運動再加上利用 Metropolis 算法 $P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})=\mathrm{min}\left\{1.0, P(\mathrm{n})/ P(\mathrm{o})\right\}$ 來判斷是否接受這樣的嘗試運動，達到平衡后的構象分布就已經(jīng)滿足我們想要抽樣的統(tǒng)計概率 $P(\Gamma)$ 分布了。

簡單一句話， 通過Detailed balance設計MC嘗試運動，保證我們能達到平衡而且平衡后的構象滿足我們想要的概率分布。

仍然以NVT系綜為例，任意可測量量 $\mathcal{O}$ 的統(tǒng)計定義為
$\langle \mathcal{O} \rangle_\mathrm{NVT} = \frac{\int\mathrm1xd9tr1\Gamma\mathcal{O}(\Gamma) e^{-\beta U(\Gamma)}}{\int\mathrm1z11xtd\Gamma e^{-\beta U(\Gamma)}} =\sum\limits_{i=1}^{N_\mathrm{sample}} P_\mathrm{NVT}(\Gamma_i)\mathcal{O}(\Gamma_i)$
需要注意的是：我們已經(jīng)知道  達到平衡后的構象分布就已經(jīng)滿足我們想要抽樣的統(tǒng)計概率 $P(\Gamma)$ 分布了，這就表明在MC中，
$\langle \mathcal{O} \rangle_\mathrm{NVT} = \sum\limits_{i=1}^{N_\mathrm{sample}} \mathcal{O}(\Gamma_i)$

因為MC所產(chǎn)生的平衡構象 $\Gamma_i$ 已經(jīng)滿足平衡分布 $P_\mathrm{NVT}(\Gamma_i)$ 了。

[ Last edited by yahoohoo on 2009-12-22 at 04:21 ]

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4樓2009-12-21 22:28:15

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