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[交流] 【在線答疑】經(jīng)典粒子體系的Monte Carlo 模擬之基礎(chǔ)篇已有29人參與

應(yīng)版主lei0736之盛情相邀，特開此貼，雖名為分享，實為討論，希望與初學者以及從事MC研究的同行一起交流。第一篇關(guān)于粒子體系的MC模擬基礎(chǔ)，欲將涉及以下幾個概念與問題：

概念:
正則系綜、相空間、概率密度、細致平衡(Detailed Balance)、Metropolis重要性抽樣

問題:
(1) 為什么用MC？
(2) MC能做什么？不能做什么？
(3) 怎么做MC？

討論中打算在適當之處添加一些偽代碼(c++)以供理解。

歡迎大家多提寶貴意見。

[ Last edited by lei0736 on 2009-12-21 at 18:04 ]

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1樓 2009-12-21 16:53:16

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coy123

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引用回帖:

Originally posted by yahoohoo at 2009-12-21 16:53:
應(yīng)版主lei0736之盛情相邀，特開此貼，雖名為分享，實為討論，希望與初學者以及從事MC研究的同行一起交流。第一篇關(guān)于粒子體系的MC模擬基礎(chǔ)，欲將涉及以下幾個概念與問題：

概念:
正則系綜、相空間、概率密度、 ...

樓主，寫偽碼的時候，如果設(shè)計mc的算法，能否提示是用哪種算法？

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9樓2009-12-23 04:32:19

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lei0736

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小木蟲(金幣+0.5):給個紅包，謝謝回帖交流

祝賀開貼
順便問下細致平衡條件的重要性如何
以及如何在模擬中注意哪些事項以保證細致平衡條件

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2樓2009-12-21 18:55:47

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qzhaosdu

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lei0736(金幣+1):歡迎參與討論 2010-01-30 17:00

請問用MC做表面活性劑自組裝和高分子稀溶液自組裝的可靠性？
看過很多文章，貌似用MC做同樣的體系和用SCFT,DPD做出來的結(jié)論大不相同。謝謝！

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3樓2009-12-21 21:13:07

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lei0736(金幣+10,VIP+0):呵呵值得推薦 12-22 09:57
zeoliters(金幣+5,VIP+0):謝謝！ 12-25 16:25

引用回帖:

Originally posted by lei0736 at 2009-12-21 18:55:
祝賀開貼
順便問下細致平衡條件的重要性如何
以及如何在模擬中注意哪些事項以保證細致平衡條件

Detailed balance 用公式表示為
$P(\mathrm{o}) \alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n}) P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})= P(\mathrm{n}) \alpha(\mathrm{n}\to\mathrm{o}) P_\mathrm{acc}(\mathrm{n}\to\mathrm{o})$
其中， $P(\mathrm{o})$ 表示微觀態(tài)或微觀構(gòu)象 $\mathrm{o}$ 的概率(或幾率)密度分布，在NVT系綜中 $P(\mathrm{o})=\frac{e^{-\beta U(\mathrm{o})}}{\int\mathrmf2eqg2w\Gamma e^{-\beta U(\Gamma)}}$ ，即Boltzmann分布。 $\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 表示從構(gòu)象 $\mathrm{o}$ 到構(gòu)象 $\mathrm{n}$ 所設(shè)計進行的嘗試運動的幾率，而 $P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 則是接受從構(gòu)象 $\mathrm{o}$ 到構(gòu)象 $\mathrm{n}$ 的嘗試運動的幾率，因此 $\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n}) P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 表示從構(gòu)象 $\mathrm{o}$ 到構(gòu)象 $\mathrm{n}$ 的轉(zhuǎn)移幾率。用簡單的語言描述，Detailed balance 是指從構(gòu)象 $\mathrm{o}$ 到構(gòu)象 $\mathrm{n}$ 的流量(flow)等于從構(gòu)象 $\mathrm{n}$ 到構(gòu)象 $\mathrm{o}$ 的流量，這也就是所謂的微觀可逆性。

Detailed balance 的重要性在于 (1) 保證在有限的MC步數(shù)內(nèi)達到所需的平衡概率分布[c.f. M.E.J. Newman & G.T. Barkema, Monte Carlo Methods in Statistical Physics, Oxford]，這一點有嚴格的數(shù)學證明，我們只需要知道這個結(jié)論就可以了； (2) 達到平衡后平衡就不再被破壞，這意味著根據(jù)MC算法產(chǎn)生的構(gòu)象將滿足平衡概率分布。

滿足Detailed balance 公式的 $P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 解有很多，使用最為廣泛的當屬Metropolis 算法：

$P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})=\mathrm{min}\left\{1.0, \frac{P(\mathrm{n}) \alpha(\mathrm{n}\to\mathrm{o})}{P(\mathrm{o}) \alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n})} \right\}$
這里， $P(\mathrm{o})/P(\mathrm{n})$ 是已知的，對于NVT系綜，
$\frac{P(\mathrm{o})}{P(\mathrm{n})}=e^{-\beta\bigl\{U(\mathrm{n})-U(\mathrm{o})\bigr\}}$ 。而 $\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ ( $\alpha(\mathrm{n}\to\mathrm{o})$ )取決于我們設(shè)計的Monte Carlo運動(move)是如何由構(gòu)象 $\mathrm{o}$ ( $\mathrm{n}$ )到構(gòu)象 $\mathrm{n}$ ( $\mathrm{o}$ )的。例如對于簡單的粒子體系，我們現(xiàn)在設(shè)計隨機移動一個粒子的位置，偽代碼為

int ichosen = int(Ntot * mt19937.getReal3()); // Ntot: 粒子的數(shù)目; mt19937.getReal3()返回(0, 1)之間的隨機數(shù)
double stepsize = 0.5 * sigma_LJ; //假設(shè)LJ 粒子體系,  sigma_LJ為LJ直徑. 在實際模擬中一般需要調(diào)節(jié)stepsize的大小以獲得一定的嘗試運動成功率, 例如30%.
for (int j = 0; j < 3; ++j)
  xn[ichosen][j] = xo[ichosen][j] + stepsize * (mt19937.getReal3()-0.5); //(2.0*mt19937.getReal3()-1.0)返回(-0.5,0.5)的隨機值.

這段代碼的for循環(huán)實現(xiàn)的是以隨機選取的粒子的原有位置xo[ichosen]為中心所形成的邊長為 stepsize的正方體內(nèi)隨機產(chǎn)生一個新的位置xn[ichosen]，那么， $\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n}) \propto \mathrm{stepsize}^{-3}$ ，因為stepsize * (mt19937.getReal3()-0.5) 保證了由舊位置到新位置的嘗試運動幾率等于由新位置到舊位置的嘗試運動幾率，所以這里 $\alpha(\mathrm{n}\to\mathrm{o})=\alpha(\mathrm{o}\to\mathrm{n})$ 。有了這樣設(shè)計的嘗試運動再加上利用 Metropolis 算法 $P_\mathrm{acc}(\mathrm{o}\to\mathrm{n})=\mathrm{min}\left\{1.0, P(\mathrm{n})/ P(\mathrm{o})\right\}$ 來判斷是否接受這樣的嘗試運動，達到平衡后的構(gòu)象分布就已經(jīng)滿足我們想要抽樣的統(tǒng)計概率 $P(\Gamma)$ 分布了。

簡單一句話， 通過Detailed balance設(shè)計MC嘗試運動，保證我們能達到平衡而且平衡后的構(gòu)象滿足我們想要的概率分布。

仍然以NVT系綜為例，任意可測量量 $\mathcal{O}$ 的統(tǒng)計定義為
$\langle \mathcal{O} \rangle_\mathrm{NVT} = \frac{\int\mathrmemy7wwn\Gamma\mathcal{O}(\Gamma) e^{-\beta U(\Gamma)}}{\int\mathrmgqyt2aw\Gamma e^{-\beta U(\Gamma)}} =\sum\limits_{i=1}^{N_\mathrm{sample}} P_\mathrm{NVT}(\Gamma_i)\mathcal{O}(\Gamma_i)$
需要注意的是：我們已經(jīng)知道  達到平衡后的構(gòu)象分布就已經(jīng)滿足我們想要抽樣的統(tǒng)計概率 $P(\Gamma)$ 分布了，這就表明在MC中，
$\langle \mathcal{O} \rangle_\mathrm{NVT} = \sum\limits_{i=1}^{N_\mathrm{sample}} \mathcal{O}(\Gamma_i)$

因為MC所產(chǎn)生的平衡構(gòu)象 $\Gamma_i$ 已經(jīng)滿足平衡分布 $P_\mathrm{NVT}(\Gamma_i)$ 了。

[ Last edited by yahoohoo on 2009-12-22 at 04:21 ]

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4樓2009-12-21 22:28:15

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