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北京石油化工學(xué)院2026年研究生招生接收調(diào)劑公告

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loulilv

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[交流] 【求助】線(xiàn)性代數(shù)關(guān)于特征值的證明題

線(xiàn)性代數(shù)的一個(gè)問(wèn)題，學(xué)過(guò)的時(shí)間太長(zhǎng)了，好多概念都不清楚了。能否幫忙寫(xiě)個(gè)過(guò)程？5個(gè)金幣求教。

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1樓 2011-02-11 11:50:19

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jiangmath

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jfili

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設(shè)x是B的特征向量，特征值為a，則A-BAB左右同時(shí)乘以x^T和x后大于零，所以有
(1-a^2)x^TAx>0，所以a^2<1
即B的特征值的特征值的絕對(duì)值均小于1

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2樓2011-02-11 17:06:23

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證明：由于B是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以它的全部特征值均為實(shí)數(shù)，設(shè) $\lambda$ 為B的任意一個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為 $\xi$ ，即：

$B\xi=\lambda \xi$ ，
由于矩陣 $A-BAB$ 為正定矩陣，且 $\xi$ 是非零向量，所以，

$\xi ^{T}(A-BAB)\xi>0,~so~\xi ^{T}A\xi-\xi ^{T}BAB\xi>0,~so ~\xi ^{T}A\xi-(B\xi) ^{T}A(B\xi)>0$ ,
于是就有

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3樓2011-02-11 18:23:01

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4樓2011-02-11 18:24:23

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