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lilei119

新蟲 (正式寫手)

[交流] 【求助】多元方程組求解及擬合 已有2人參與

多元非線性方程組：
(x10-x1)/y=abx1/(1+bx1+cx2+dx3+ex4)
(x20-x2)y=acx2/(1+bx1+cx2+dx3+ex4)
(x30-x3)/y=adx3/(1+bx1+cx2+dx3+ex4)
(x40-x4)/y=aex4/(1+bx1+cx2+dx3+ex4)
其中x10,x20,x30,x40 都是已知的常數(shù)，abcde是待擬合的常數(shù)，現(xiàn)已知一系列的x1,x2,x3,x4和y值，要擬合出上述abcde5個參數(shù)，上面的方程組看樣子是無法手工消元然后用一元非線性擬合了，類似的文獻(xiàn)說用牛頓-拉弗遜迭代法，各位專家?guī)涂纯催@個問題解決起來的難度？并告知具體或者大概步驟。不甚感激
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forcal

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zzuwangshilei(金幣+1): 鼓勵交流 2011-03-12 20:26:58
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2樓2011-03-12 20:19:36
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lilei119

新蟲 (正式寫手)
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xiegangmai(金幣+1): 鼓勵討論交流！ 2011-04-10 21:42:25
引用回帖:
Originally posted by forcal at 2011-03-12 20:19:36:
如果樓主方便，可以給出數(shù)據(jù)，沒有數(shù)據(jù)，就不知道難度有多大。
一般的擬合軟件都可以給出解決此類問題的代碼，這沒有任何難度。
Forcal解法參考：http://www.forcal.net/sysm/forcal9/fchtm/fcopt.htm

謝謝回復(fù)，
問題是這樣的，
有一個方程組：

(x10-x1)/y=a*b*x1/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)
(x20-x2)y=a*c*x2/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)
(x30-x3)/y=a*d*x3/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)
(x40-x4)/y=a*e*x4/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)

x10,x20,x30,x40,y是自變量，x1,x2,x3,x4是因變量，a,b,c,d,e是常數(shù)，現(xiàn)已給出26組關(guān)于x1,x2,x3,x4x10,x20,x30,x40,y數(shù)據(jù)，要擬合a,b,c,d,e 這5個
參數(shù)。
擬合時的約束條件是讓SSD這個值最小：

SSD = Σ[ (x1 – x1 (model))2 / (x10)2+ (x2- x2(model))2 / (x20)2+ (x3- x3(model))2 /(x30)2 + (x4- x4(model))2 / (x40) 2]
這里：x1(model)預(yù)測值，

下面用化學(xué)語言重新表達(dá)一遍上述問題。

y是吸附劑，x1,x2,x3,x4是4個被吸附物質(zhì)，每個物質(zhì)的吸附都符合Langmuir 模型，

即單獨(dú)吸附x1的時候，滿足公式：

(x10-x1)/y=a*b*x1/(1+b*x1)
，x10是x1的初始濃度，x1是x1吸附平衡時的濃度，y是吸附劑的投量。a，b是吸附常數(shù)。

現(xiàn)把x1,x2,x3,x4和y同時放入反應(yīng)器，簡單計(jì)算后各物質(zhì)平衡濃度會同時滿足以下4個方程：

(x10-x1)/y=a*b*x1/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)
(x20-x2)y=a*c*x2/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)
(x30-x3)/y=a*d*x3/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)
(x40-x4)/y=a*e*x4/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)
即：x10,x20,x30,x40是各物質(zhì)的初始濃度，x1,x2,x3,x4吸附平衡后各物質(zhì)濃度，a,b,c,d,e是吸附常數(shù)，現(xiàn)有26組實(shí)驗(yàn)，已測各物質(zhì)的初始濃度和吸附平衡之后的濃度，現(xiàn)要擬合a,b,c,d,e 這5個
參數(shù)。

擬合時的約束條件是讓SSD這個值最�。�

SSD = Σ[ (x1 – x1 (model))2 / (x10)2+ (x2- x2(model))2 / (x20)2+ (x3- x3(model))2 /(x30)2 + (x4- x4(model))2 / (x40) 2]
這里：x1(model)預(yù)測值，

數(shù)據(jù)如下
Y        X10        X1        X20        X2        X30        X3        X40        X4
0.098709898        0        0        0        0        0.001071429        1.2854E-05        0        0
0.034516927        0        0        0        0        0.001071429        2.27537E-05        0        0
0.023548457        0        0        0        0        0.001071429        4.57405E-05        0        0
0.009339838        0        0        0        0        0.001071429        0.000158461        0        0
0.001373626        0        0        0        0        0.001071429        0.000714286        0        0
0.000446429        0        0        0        0        0.001071429        0.000928571        0        0
2.67857E-05        3.74667E-05        0.0000324        0.000103226        9.03226E-05        0        0        0        0
5.35714E-05        3.81333E-05        2.86667E-05        0.000103226        7.41935E-05        0        0        0        0
8.92857E-05        3.69333E-05        0.000022        0.0001        5.51613E-05        0        0        0        0
0.000142857        0.0000364        0.0000136        9.83871E-05        2.99355E-05        0        0        0        0
0.00018125        0.0000368        8.66667E-06        0.000102903        1.67742E-05        0        0        0        0
0.000196429        0.000036        5.73333E-06        9.6129E-05        9.6129E-06        0        0        0        0
0.000221429        3.54667E-05        3.06667E-06        9.45161E-05        4.80645E-06        0        0        0        0
0.000267857        0.000034        2.53333E-07        9.35484E-05        2.77419E-06        0        0        0        0
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0.0001125        6.66667E-06        2.21111E-06        9.03226E-05        2.32827E-05        0        0        0        0
3.39286E-05        6.66667E-06        4.85556E-06        9.03226E-05        6.57495E-05        0        0        0        0
7.14286E-05        6.66667E-06        3.67778E-06        9.03226E-05        4.78178E-05        0        0        0        0
0.00011        6.66667E-06        2.28889E-06        9.03226E-05        2.57306E-05        0        0        0        0
0.000151786        6.66667E-06        0.0000012        9.03226E-05        1.05882E-05        0        0        0        0
0.000210714        6.66667E-06        0.00000011        9.03226E-05        1.0019E-06        0        0        0        0
8.03571E-05        2.26667E-06        1.5569E-06        9.67742E-05        4.96451E-05        0.001066071        0.001066071        0.0000044        4.30976E-06
0.000139286        0.0000034        1.13333E-06        9.67742E-05        1.22203E-05        0.00105        0.00105        3.26667E-06        3.06667E-06
0.000214286        4.06667E-06        4.46554E-07        9.67742E-05        1.06928E-06        0.001028571        0.001028571        0.0000026        2.22222E-06
0.000321429        4.53333E-06        1.51089E-07        9.67742E-05        2.6058E-07        0.000985714        0.000985714        2.13333E-06        1.3468E-06
0.000535714        4.99333E-06        4.66667E-08        9.67742E-05        9.67742E-08        0.000942857        0.000942857        1.67333E-06        6.06667E-07
3樓2011-04-10 08:18:58
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4樓2011-04-10 21:30:21
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lilei119

新蟲 (正式寫手)
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Originally posted by forcal at 2011-04-10 21:30:21:
看不出樓主的目標(biāo)函數(shù)有多少意義，以下目標(biāo)函數(shù)不可以嗎？
[(x10-x1)/y-a*b*x1/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)]^2
+[(x20-x2)/y-a*c*x2/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)]^2
+[(x30-x3)/y-a*d*x3/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)]^2 ...

謝謝你，此外，關(guān)于目標(biāo)函數(shù)，文獻(xiàn)是用的這個，所以想對比一下我和他的結(jié)果如何。如果方便實(shí)現(xiàn)的話能否幫弄弄按我我的目標(biāo)函數(shù)再走一下？此外，最后那個誤差怎么理解？如何用它來說明擬合的精確度？非常感謝，您幫了我的大忙。
此外，我下載了forcal，按您的程序計(jì)算后結(jié)果不顯示，說not registered。請教如何注冊？

[ Last edited by lilei119 on 2011-4-11 at 07:13 ]
5樓2011-04-11 06:27:46
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forcal

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6樓2011-04-11 16:36:07
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lilei119

新蟲 (正式寫手)
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Originally posted by forcal at 2011-04-11 16:36:07:
您的目標(biāo)函數(shù)是有些問題的，例如，x10、x20等有時為0，卻做了除數(shù)，導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)無意義。即便目標(biāo)函數(shù)有意義，但仍感覺會費(fèi)力不討好。

最后的誤差sqrt[s/(max*4)]用s代替也可，但用sqrt[s/(max*4)]能看出每個 ...

好的，再請教有辦法可以求出每個參數(shù)的誤差？就是每個值寫成a+-b的形式。這樣似乎更直觀，不過不行也沒關(guān)系，已經(jīng)幫大忙了。
7樓2011-04-11 22:55:08
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lilei119

新蟲 (正式寫手)
引用回帖:
Originally posted by forcal at 2011-04-10 21:30:21:
看不出樓主的目標(biāo)函數(shù)有多少意義，以下目標(biāo)函數(shù)不可以嗎？
[(x10-x1)/y-a*b*x1/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)]^2
+[(x20-x2)/y-a*c*x2/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)]^2
+[(x30-x3)/y-a*d*x3/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)]^2 ...

謝謝forcal 老師的回復(fù)，約束方程稍微改了該，能否再耽誤您時間幫忙看看？

(x10-x1)/y=a*b*x1/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)    (1)
(x20-x2)y=a*c*x2/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)      (2)
(x30-x3)/y=a*d*x3/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)     (3)
(x40-x4)/y=a*e*x4/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)     (4)

x10,x20,x30,x40,y是自變量，x1,x2,x3,x4是因變量，a,b,c,d,e是常數(shù)，現(xiàn)已給出26組關(guān)于x1,x2,x3,x4x10,x20,x30,x40,y數(shù)據(jù)，要擬合a,b,c,d,e 這5個
參數(shù)。
擬合時的約束條件是讓SSD這個值最�。�

SSD = Σ[ (x1 – x1 (model))2 + (x2- x2(model))2 + (x3- x3(model))2  + (x4- x4(model))2 ]
SSD = Σ[ (x1 – x1 (model))2 + (x2- x2(model))2 + (x3- x3(model))2  + (x4- x4(model))2 ]
這里：x1,x2,x3,x4是實(shí)驗(yàn)測出來的值（數(shù)據(jù)見下），x1(model)，x2(model)，x3(model)，x4(model)是指上面方程組(方程（1）（2）（3）（4））根據(jù)給出的數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)見下）y, x10,x20,x30,x40和5個參數(shù)求出的解。此外，求解該方程組會有多組解，所以還需要限制條件（即 0 不知道這個是否能實(shí)現(xiàn)，非常感謝您的幫助！！




數(shù)據(jù)如下
Y        X10        X1        X20        X2        X30        X3        X40        X4
0.098709898        0        0        0        0        0.001071429        1.2854E-05        0        0
0.034516927        0        0        0        0        0.001071429        2.27537E-05        0        0
0.023548457        0        0        0        0        0.001071429        4.57405E-05        0        0
0.009339838        0        0        0        0        0.001071429        0.000158461        0        0
0.001373626        0        0        0        0        0.001071429        0.000714286        0        0
0.000446429        0        0        0        0        0.001071429        0.000928571        0        0
2.67857E-05        3.74667E-05        0.0000324        0.000103226        9.03226E-05        0        0        0        0
5.35714E-05        3.81333E-05        2.86667E-05        0.000103226        7.41935E-05        0        0        0        0
8.92857E-05        3.69333E-05        0.000022        0.0001        5.51613E-05        0        0        0        0
0.000142857        0.0000364        0.0000136        9.83871E-05        2.99355E-05        0        0        0        0
0.00018125        0.0000368        8.66667E-06        0.000102903        1.67742E-05        0        0        0        0
0.000196429        0.000036        5.73333E-06        9.6129E-05        9.6129E-06        0        0        0        0
0.000221429        3.54667E-05        3.06667E-06        9.45161E-05        4.80645E-06        0        0        0        0
0.000267857        0.000034        2.53333E-07        9.35484E-05        2.77419E-06        0        0        0        0
0.000175        6.66667E-06        3.08889E-07        9.03226E-05        2.49336E-06        0        0        0        0
0.0001125        6.66667E-06        2.21111E-06        9.03226E-05        2.32827E-05        0        0        0        0
3.39286E-05        6.66667E-06        4.85556E-06        9.03226E-05        6.57495E-05        0        0        0        0
7.14286E-05        6.66667E-06        3.67778E-06        9.03226E-05        4.78178E-05        0        0        0        0
0.00011        6.66667E-06        2.28889E-06        9.03226E-05        2.57306E-05        0        0        0        0
0.000151786        6.66667E-06        0.0000012        9.03226E-05        1.05882E-05        0        0        0        0
0.000210714        6.66667E-06        0.00000011        9.03226E-05        1.0019E-06        0        0        0        0
8.03571E-05        2.26667E-06        1.5569E-06        9.67742E-05        4.96451E-05        0.001066071        0.001066071        0.0000044        4.30976E-06
0.000139286        0.0000034        1.13333E-06        9.67742E-05        1.22203E-05        0.00105        0.00105        3.26667E-06        3.06667E-06
0.000214286        4.06667E-06        4.46554E-07        9.67742E-05        1.06928E-06        0.001028571        0.001028571        0.0000026        2.22222E-06
0.000321429        4.53333E-06        1.51089E-07        9.67742E-05        2.6058E-07        0.000985714        0.000985714        2.13333E-06        1.3468E-06
0.000535714        4.99333E-06        4.66667E-08        9.67742E-05        9.67742E-08        0.000942857        0.000942857        1.67333E-06        6.06667E-07

[ Last edited by lilei119 on 2011-5-25 at 10:16 ]
8樓2011-05-25 09:59:18
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forcal

禁蟲 (初入文壇)
★ ★
小木蟲(金幣+0.5):給個紅包，謝謝回帖
臭水溝(金幣+1): 謝謝參與！ 2011-05-26 22:59:42
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9樓2011-05-26 18:21:58
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lilei119

新蟲 (正式寫手)
引用回帖:
4樓: Originally posted by forcal at 2011-04-10 21:30:21:
看不出樓主的目標(biāo)函數(shù)有多少意義，以下目標(biāo)函數(shù)不可以嗎？
[(x10-x1)/y-a*b*x1/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)]^2
+[(x20-x2)/y-a*c*x2/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)]^2
+[(x30-x3)/y-a*d*x3/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)]^2 ...

forcal老師，這個程序非常有用，后來用在其他數(shù)據(jù)上時碰到一個問題：由于數(shù)據(jù)不夠多，約束性不太好，所以擬合的時候每次運(yùn)行，結(jié)果可能都不一樣，并且有時候出現(xiàn)bcde某個或者某幾個值出現(xiàn)負(fù)數(shù)的情況。由于abcde都是正數(shù)，想在程序里把這個條件加進(jìn)去可能可以排除一些無效解，不知道如何加？望賜教。
10樓2012-01-06 05:00:34
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