rainbowguy

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[交流] 【求助】集列的上下極限的三個問題？請大蝦解答

最近看集列的極限，看的比較頭大，請教大蝦以下幾個問題：
（1）集列的上極限公式是怎么得出的？大蝦能不能用通俗的語言解釋一下，我一直理解不了公式右側(cè)的交和并怎么會是上極限。如下圖所示，

（2）請大蝦看一下這個例題，為什么下極限是(-1,1],而不是(-1,1)?

（3）集列的上極限、下極限到底在數(shù)學上有什么用途？
請教各位大蝦指教！

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1樓 2011-03-19 21:10:23

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liliangmatn

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小木蟲(金幣+0.5):給個紅包，謝謝回帖交流

首先，集合的極限的交并運算只是與上下確界運算有類似的地方（在單調(diào)的情況下）；但并不能這樣簡單的理解！
對于集合上下極限的定義的確有些繞口：
上極限={x：x屬于無限多個E_n};
下極限={x：x至多不屬于有限個E_n};
這個很繞口的定義是等價于交并運算的公式的，直接寫就可以了！

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12樓2011-04-16 00:23:54

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cxy1010

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1樓

rainbowguy(金幣+5): 2011-03-19 22:48:43

引用回帖:

Originally posted by rainbowguy at 2011-03-19 21:10:23:
最近看集列的極限，看的比較頭大，請教大蝦以下幾個問題：
（1）集列的上極限公式是怎么得出的？大蝦能不能用通俗的語言解釋一下，我一直理解不了公式右側(cè)的交和并怎么會是上極限。如下圖所示，
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建議你去聽聽http://www.ssvideo.cn/playvideo.asp?id=37823就明白啦

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2樓2011-03-19 21:18:43

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zyxme

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不懂呀

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3樓2011-03-19 21:30:26

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just_play

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rainbowguy(金幣+5): 2011-03-20 19:07:54

(1)一個等價的直觀定義是：{Ak}的上限集由屬于{Ak}中無窮多個集合的元素所生成的集合；{Ak}的下限集是由只不屬于{Ak}中有限多個集合的元素所生成的集合。

(2)容易看出1只不屬于A2而屬于任何其他Ak(k不等于2),從而根據(jù)(1),1屬于{Ak}的下限集

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4樓2011-03-19 22:35:28

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rainbowguy

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Originally posted by cxy1010 at 2011-03-19 21:18:43:
建議你去聽聽http://www.ssvideo.cn/playvideo.asp?id=37823就明白啦

已經(jīng)看了，對于第（2）個問題中的例題，大蝦能夠給詳細解釋一下？

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5樓2011-03-19 22:48:32

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集列的上下極限以及收斂性是實分析中最雞肋的概念，往往把初學者搞得一頭霧水，但實際上又并沒有什么特別大的重要性，學到后面你就會發(fā)現(xiàn)，只需要有“可數(shù)并” “可數(shù)交”的概念就完全足夠，完全沒有必要去倒騰什么上下極限，我學了這么多年，所見過的關(guān)于集列上下極限的結(jié)果少得可憐，甚至于我想用它來說明一些問題的時候，都找不到現(xiàn)成的結(jié)論可供應用，所以說啊，理解了當然好，理解不了，也沒有什么要緊，反正不影響學習，跳過去就跳過去了，將來見識豐富了之后總能理解的。

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6樓2011-03-19 23:15:51

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Pchief

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rainbowguy(金幣+10): 2011-03-20 19:07:35

我翻了一下前蘇聯(lián)人那湯松寫的《實變函數(shù)論》，人家根本就沒有提什么“上下極限”的概念，只是在一個習題中要求證明類似于

這樣的命題，然而從未給這樣的集合賦予一個名稱，可見這東西根本就不重要，沒了它照樣成書。而且這還說明，國內(nèi)實變教材上的所謂上下極限的術(shù)語很可能是國人自己演繹出來的玩意，因為它們的源頭是沒有這種東西的。

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7樓2011-03-19 23:36:14

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ssszhangxx

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8樓2011-03-20 00:33:15

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cxy1010

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1樓

引用回帖:

Originally posted by rainbowguy at 2011-03-19 22:48:32:
已經(jīng)看了，對于第（2）個問題中的例題，大蝦能夠給詳細解釋一下？

上樓已經(jīng)解釋了他是對的。

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9樓2011-03-20 01:01:38

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wuxiaoxing

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rainbowguy(金幣+2): 2011-03-20 19:08:41

上極限可以看成是所有子列極限的上確界下極限類似

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10樓2011-03-20 11:08:56

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rainbowguy

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多謝Pchief 、just_play、cxy1010、wuxiaoxing等大蝦，
學習集列上下極限時確實比較頭大，現(xiàn)在也只是大概理解了。

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11樓2011-03-20 19:10:49

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David402

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★
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上極限和下極限在國內(nèi)的實變函數(shù)教材里面都有，一般會給出四個等價定義，一個是描述性的，二是像LZ給出的，三是使用epslon語言描述，四是使用數(shù)學分析中的記號（這個可能記錯了）。一般來說，像LZ那樣的用得多，但是理解起來使用epslon語言方便，證明使用這個個人覺得好理解些（奇怪的是國內(nèi)教材使用的少，也許大牛們一眼就看出來了或者我不理解他們的做法）。在實際計算的時候，一般使用

兩邊一般能取到等號

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13樓2014-11-27 19:38:56

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Edstrayer

無蟲

★
小木蟲: 金幣+0.5, 給個紅包，謝謝回帖

這就是集合的極限運算的定義的直接推論，用定義就可以得到

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14樓2014-11-28 00:08:54

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Neyeee

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(1)可以這樣理解：觀察{An}的上極限，它是對于An的所有并集序列求其交集，這個并集序列的每一個元素你會發(fā)現(xiàn)，它總是會把無窮遠的那個An并含在內(nèi)，也就是說每一個并集序列它至少包含 n為無窮的那個An。再對它求交集后，很明顯的結(jié)論就是，交集里必然存在n在無窮大時的An，也就是說n趨于無窮時的An是必然屬于{An}的上極限的。即：lim An屬于上極限lim An。

下極限是同樣的，{An}的下極限，是對于An的所有交集序列求并，你會觀察到這個交集序列的每個元素，必然是n趨于無窮時An的一個子集。再把所有的子集求并，你會發(fā)現(xiàn){An}的下極限必然被n趨于無窮時的An包含。

下上是直觀的理解，這樣的話就會明白，上極限{An}包含下極限{An}，當下極限{An}等于上極限{An}時，{An}的極限存在，就是n趨于無窮的An。

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15樓2015-10-16 11:41:02

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