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qbyteqbyte木蟲 (著名寫手)
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[求助]
請教一道特征值問題
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已知條件：A，B：V ——> V為向量空間V到其自身的線性映射。 求證：AB 和 BA 具有相同的特征值 嘗試解決方法： (1)、當(dāng)特征值c不為零時 AB(v)=cv ，且 v 與 B(v) 均不為零 BAB(v)=B(cv)=cB(v)，由此得出 c 為 BA 的一個特征值，對應(yīng)特征向量 B(v) (2)、當(dāng)特征值c為零時 AB(v)=0 case a：B(v) 不為零，這時證明方法同(1) case b：B(v)=0，即 0 是 B 的一個特征值 考慮A，若 A 也具有特征值0，則 BA 有特征值 0，得證。 若0不是A的特征值，則說明只有 A(0)=0，故A是單射 if V是有限維的，則 A 是一一映射 故 A(V) = V （A(V) 表示映射 A 的像集） 從而存在 v' 使得 BA(v') = 0 if V是無限維的，.......... 以上提供了我的解題思路，當(dāng)特征值為0 ，向量空間 V 無限維時不會證明了，還忘高人指點。 我的解題方案只是反映了我的思考過程，并不是規(guī)定必須在這個框架內(nèi)考慮問題。當(dāng)然請不要用到奇異性和行列式等工具。 |
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你不是都已經(jīng)證出來了嗎。 ABv=cv ，其中v不等于0。(因v不為0，于是Bv也不為零，可用反證)。[注c沒有要求是否為0] BABv=B(cv)=c(Bv)，因前已證Bv不為0，因此得出 c 為 BA 的一個特征值，對應(yīng)特征向量 Bv。[注，不論c是否為0均成立] 因此，AB的特征值一定是BA的特征值，同理BA的一定是AB的。 因此，AB與BA有相同的特征值。但對于重根的情況得考慮一下。 |
2樓2012-04-28 10:39:07
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4樓2012-04-28 10:58:09
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5樓2012-04-28 11:00:46
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