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qbyteqbyte木蟲 (著名寫手)
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[求助]
請(qǐng)教一道特征值問(wèn)題
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已知條件：A，B：V ——> V為向量空間V到其自身的線性映射。 求證：AB 和 BA 具有相同的特征值 嘗試解決方法： (1)、當(dāng)特征值c不為零時(shí) AB(v)=cv ，且 v 與 B(v) 均不為零 BAB(v)=B(cv)=cB(v)，由此得出 c 為 BA 的一個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)特征向量 B(v) (2)、當(dāng)特征值c為零時(shí) AB(v)=0 case a：B(v) 不為零，這時(shí)證明方法同(1) case b：B(v)=0，即 0 是 B 的一個(gè)特征值 考慮A，若 A 也具有特征值0，則 BA 有特征值 0，得證。 若0不是A的特征值，則說(shuō)明只有 A(0)=0，故A是單射 if V是有限維的，則 A 是一一映射 故 A(V) = V （A(V) 表示映射 A 的像集） 從而存在 v' 使得 BA(v') = 0 if V是無(wú)限維的，.......... 以上提供了我的解題思路，當(dāng)特征值為0 ，向量空間 V 無(wú)限維時(shí)不會(huì)證明了，還忘高人指點(diǎn)。 我的解題方案只是反映了我的思考過(guò)程，并不是規(guī)定必須在這個(gè)框架內(nèi)考慮問(wèn)題。當(dāng)然請(qǐng)不要用到奇異性和行列式等工具。 |
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木蟲 (小有名氣)
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給出這個(gè)反例只想說(shuō)明當(dāng)無(wú)窮維空間時(shí)，結(jié)論是不對(duì)的。 AB和BA的譜可能差一個(gè)0值。 |
qbyteqbyte9樓2012-04-30 19:26:21
【答案】應(yīng)助回帖
★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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你不是都已經(jīng)證出來(lái)了嗎。 ABv=cv ，其中v不等于0。(因v不為0，于是Bv也不為零，可用反證)。[注c沒(méi)有要求是否為0] BABv=B(cv)=c(Bv)，因前已證Bv不為0，因此得出 c 為 BA 的一個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)特征向量 Bv。[注，不論c是否為0均成立] 因此，AB的特征值一定是BA的特征值，同理BA的一定是AB的。 因此，AB與BA有相同的特征值。但對(duì)于重根的情況得考慮一下。 |
2樓2012-04-28 10:39:07
qbyteqbyte
木蟲 (著名寫手)
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3樓2012-04-28 10:43:50
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4樓2012-04-28 10:58:09
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