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tarcy金蟲 (正式寫手)
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[求助]
求助高手 解一個積分方程
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求解磁球的震動方程，里面有一個積分表達式不太明白怎么得出的。 如圖，第一行方程為被積項表達式，左端為φ關于時間t的倒數(shù)項，右側表達式包含變量t和φ的表達式。 第二行方程為一個積分項，同時求極限。 請高手幫解方程，謝謝。 積分公式.jpg |
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首先做變量替換 x=2(Bt- phi), a=A/B. 那么 dx /dt = 2B -2 (A* Sin(x) ), 即 dx/ ( 1-a*Sin(x) ) = 2B* dt. 這是分離變量x, t. 積分兩邊, 右端是2Bt +C, 其中C是任意常數(shù). 左端用萬能公式 sin(x)= 2*tan(x/2) / (1+tan^2(x/2)), 被積函數(shù)可寫成 dx/ ( 1-a*Sin(x) ) = sec^2(x/2) dx / [ 1+tan^2(x/2) -2a*tan(x/2) ] = -2 * d(a-tan(x/2)) / [(1-a^2) + (a-tan(x/2))^2] 這是一個標準積分, 關于arctan函數(shù)的, 所以左端是 -2/ sqrt(1-a^2) *arctan[ (a-tan(x/2)) / sqrt(1-a^2)]. 因此 tan(x/2) -a = sqrt(1-a^2)* tan(B*sqrt(1-a^2)*t +C). 忐忑地問一下樓主, 是不是 有|A| < |B|的限制條件? 當t趨于無窮大時, sqrt(1-a^2)* tan(B*sqrt(1-a^2)*t +C)是周期性的無界的振蕩函數(shù), 因此, tan(x/2)也是振蕩的, 沒有極限. 因此不能用L'Hospital 法則求極限 int_{0}^T sin(x) dt / T. 其實, sin(x(t) )基本上是個周期函數(shù), 所以樓主要求的極限等于一個周期上的積分值, 具體來說就是, int_{- pi/2}^{pi/2} 2*( a+sqrt(1-a^2)*tan(theta) ) / [1 + ( a+sqrt(1-a^2)*tan(theta) )^2 ] d(theta). 經(jīng)過一些雜七雜八的化簡后, 要求計算Integrate[ y / [(1+y^2)(1-a^2+(y-a)^2)], {y, -infinity, infinity} ] Mathematica軟件計算結果為 -Pi/ (2a), 所以極限值等于 -Pi* sqrt( (B/A)^2-1). 答案有些詭異, 樓主看看符號有沒有 問題, 是否與預期的相符, 等等. |
4樓2013-09-07 01:53:32
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