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cherryjing1786鐵蟲 (正式寫手)
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[求助]
求助向量子空間維數(shù)的一個(gè)證明
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四個(gè)有限域F上的向量子空間V1,V2,V3,V4，已知V3屬于V1+V2+V4，并且已知dim(V4)+dim(V1交V2交V4)-dim(V1交V4)-dim(V2交V4)大于等于0，請問如何證明dim(V3+V4)+dim(V3+(V1交V2交V4))-dim(V3+(V1交V4))-dim(V3+(V2交V4))也大于等于0呢, 希望數(shù)學(xué)專業(yè)的牛人指點(diǎn)迷經(jīng)，如果能證出來真是太感謝了！ |
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hank612
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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符號說明, (A): 1,2,3,4代表相應(yīng)向量空間V1, V2,V3, V4. (B): 123代表交集 V1交V2交V3, 以此類推. (C): 1+2 代表V1+V2, 空間之和. (D): (23) 括號代表取括號內(nèi)子空間維數(shù). 因此: 樓主條件為: (4)+ (124) >= (14) + (24). 求證: (3+4) + (3+ 124) >= (3+14) + (3+24). 貌似僅有一個(gè)工具: (A+B) + (AB) = (A) +(B). 我們從要求的結(jié)果出發(fā),逆推: (3+4) + (3+ 124) >= (3+14) + (3+24); (3) + (4) - (34) + (3) +(124) - (3124) >= (3) +(14) -(314) +(3) +(24) -(234); (4) + (124) -(14) -(24) >= (34) - (134) - (234) + (1234); (4) + (124) -(14) -(24) >= (34 +1) -(1) - (1+234) +(1); (4) + (124) -(14) -(24) >= (34+1) - (234+1). 到此, 明顯(34+1) - (234+1) >=0, 但是跟 (4) + (124) -(14) -(24) = (4) - (14 +24) >=0的大小比較卻不知道. |
2樓2013-09-18 04:22:35
hank612
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看起來 (4)- (14+24) >= (34+1) - (234+1)是對的, 理由如下: 由于 34總是一起出現(xiàn), 不妨設(shè) V3 包含在V4中. 故要證: (4)- (14+24) >= (3+1) - (23+1). 由于子空間的維數(shù)公式和Venn diagram的集合大小公式等價(jià), 我們直接看由三個(gè)集合組成的Venn diagram好了. 3 分解為三部分: 31 + [23 不在1中] + [3 不在1+2中]. 因此, (3+1) - (23+1) = (3 不在1+2中) <= (4 不在1+2中) =(4)- (14+24). |
3樓2013-09-18 05:37:08
jabile
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4樓2013-09-18 06:37:11
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5樓2013-09-19 00:08:16
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