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小木蟲論壇-學術科研互動平臺 » 專業(yè)學科區(qū) » 數學 » 基礎數學 » 復合函數問題
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[求助]
復合函數問題
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1. 是否存在R到R 的連續(xù)可微函數f(x)滿足：f(x)>0且f'(x)=f(f(x))? 2. 是否存在連續(xù)函數f(x)使得f(f(x))=e^{-x}？ 說明原因 |
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2樓2013-10-30 21:01:58
【答案】應助回帖
★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應助指數 +1
ypzhangsd: 金幣+5, ★★★很有幫助 2013-10-31 14:34:02
感謝參與，應助指數 +1
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第二個 反證法， 設有在R上的連續(xù)函數f(x), 使得f(f(x))=-x （I) 1。 f為奇函數： f(-x)=f(f(f(x)))=-f(x). ==>f(0)=0 2. 若f(a)=a,則f(f(a))=-a=a ==>a=0. 3. 若f(a)=-a,則f(f(a))=-a=f(-a) 根據2.==>a=0. 4.若f(a)=0,則f(f(a))=-a=f(0)=0 若f滿足（I)，則-f也滿足（I)，所以可設 x>0時,f(x)>0。 5. 根據1.,2.,3.,4.得，f滿足下面2種情況之一： （1）。x>0時,f(x)>x, x<0時,f(x)<x。 （2）。x>0時,x>f(x)>0, x<0時,x<f(x)<0。 6. 設 x>0時,f(x)>x, x<0時,f(x)<x。 ==》 x>0時,-x=f(f(x))>f(x)>x，矛盾，這個情況無解。 7. 設x>0時,x>f(x)>0, x<0時,x<f(x)<0。 ==》 x>0時,-x=f(f(x))>0，矛盾，這個情況無解。 所以根據沒有在R上的連續(xù)函數f，滿足（I)。 |
3樓2013-10-30 23:45:03
hank612
至尊木蟲 (著名寫手)
- 數學EPI: 14
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- 專業(yè): 理論和計算化學
【答案】應助回帖
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應助指數 +1
ypzhangsd: 金幣+10, ★★★很有幫助 2013-10-31 14:34:09
感謝參與，應助指數 +1
ypzhangsd: 金幣+10, ★★★很有幫助 2013-10-31 14:34:09
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(1) f'(x) =f(f(x)) > 0推出 f(x) 當 x 趨于負無窮大時, 單調下降有下界 (0 為下界), 故極限 f(-∞) =a >=0 存在. 從 -∞ 到0積分f'(x), 就是 f(0) -a. 然而, 被積函數 f(f(x)) >=f(a) >0, 從 -∞ 到0積分是發(fā)散的. 因此這樣的函數f(x) 不存在. (2) f(x)=f(y) 推出 e^{-x} = e^{-y}. 因此 f(x)是單射. 可是f又是連續(xù)的, 因此是單調的. 考慮廣義極限f(-∞)=b, 廣義的意思就是說b可以取值為∞或者-∞. 由f(b)= e^{-(-∞)} =∞ 知道b必須取值為∞或者-∞, 而且 f(∞)=e^{-b}. 如果 b=∞, 那么f(b)= ∞ 與f(∞)=e^{-b}=0 相矛盾. 如果 b= -∞, 那么f(-∞)=b 與 f(b)= ∞ 相矛盾. |
4樓2013-10-31 04:10:08
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