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[求助] 求拋物線的表面積，謝謝

各位大神，我的數(shù)學(xué)很差，想麻煩高手求解一下這個(gè)拋物線繞著y軸旋轉(zhuǎn)一周（180度也行）所組成的曲面的表面積，有點(diǎn)類似于半球的表面積，但不是，也不用計(jì)算底面積，謝謝了~公式我打不出來，就在附件里，還有一張簡單的圖片，謝謝了

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附件 1 : 求教.doc

2013-11-29 10:35:03, 54.5 K

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1樓 2013-11-29 10:35:45

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抱歉，前帖少了個(gè)除號(hào)/，結(jié)果應(yīng)為：
S=π*{sqrt(1+4*n^2)]^3-1]}/[6*n^2]*r^2
當(dāng)n=1,
   S=[5*sqrt(5)-1]/6*π*r^2
      ≈1.697*π*r^2
  只有當(dāng)曲線為x^2+y^2=r^2時(shí)，結(jié)果才為2*π*r^2 。

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9樓2013-11-30 09:47:40

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【答案】應(yīng)助回帖

若是計(jì)算繞x軸旋轉(zhuǎn)的曲面面積，則曲面面積微元為：
   dS=dL*2*π*y=2*π*[-n/r*x^2+n*r]*sqrt{1+(-2*n*x/r)^2*^2}*dx
   注意在求積微元表達(dá)式中，只是將原來的x換成y，其余不變。仔細(xì)體會(huì)一下。
   故：
      S=Integral{dS,-r ,r}=2*Integral{dS , 0 , r}=......
   上市是借助偶函數(shù)的性質(zhì)化簡積分區(qū)間。這些積分也不難，很容易積出來。

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18樓2013-12-02 20:12:56

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feixiaolin

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取第一象限，x=r*sqrt[1-y/(nr)]
曲面=2*pi*x對(duì)y在[0，nr]上的積分，
即 2*pi*r*Integrate[ Sqrt[1-y/(nr)], {y, 0, nr} ]
前往 http://www.wolframalpha.com/
Integrate[ Sqrt[1-y/a], {y, 0, a} ]=2a/3
曲面=2*pi*r*2(nr)/3=4*pi*n*r^2/3

[ Last edited by feixiaolin on 2013-11-29 at 15:00 ]

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2樓2013-11-29 11:30:20

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

求解過程：
y=-n/r*x^2+n*r ，則 y'=-2*n/r*x ,設(shè)曲線弧長為L,曲面面積為S，則有：
S=Integral{dL*2*π*x,0,r}
=Integral{sqrt{1+4*n^2/r^2*x^2}*2*π*x*dx,0,r}
=π*[sqrt(1+4*n^2)-1]/[2*n^2]*r^2

完畢。

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3樓2013-11-29 13:35:31

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引用回帖:

3樓: Originally posted by peterflyer at 2013-11-29 13:35:31
求解過程：
y=-n/r*x^2+n*r ，則 y'=-2*n/r*x ,設(shè)曲線弧長為L,曲面面積為S，則有：
S=Integral{dL*2*π*x,0,r}
=Integral{sqrt{1+4*n^2/r^2*x^2}*2*π*x*dx,0,r}
=π*/*r^2

完畢。...

你好，由于我的愚笨，我沒有怎么看懂~但是我覺得當(dāng)n=1時(shí)，面積應(yīng)該是2*pi*r^2,不知道大神覺得呢？還有為什么除號(hào)前面的n和后面的n^2不進(jìn)行消除呢？非常感謝你

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4樓2013-11-30 08:59:06

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2樓: Originally posted by feixiaolin at 2013-11-29 11:30:20
取第一象限，x=r*sqrt
曲面=2*pi*x對(duì)y在上的積分，
即 2*pi*r*Integrate
前往 http://www.wolframalpha.com/
Integrate=2a/3
曲面=2*pi*r*2(nr)/3=4*pi*n*r^2/3
...

你好，謝謝你的回答，但是我將n=1帶入后，結(jié)果并不是2*pi*r^2，也就是半球的表面積，還望大神給予回復(fù)，謝謝？？

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5樓2013-11-30 09:07:14

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4樓: Originally posted by douhaosuda at 2013-11-30 08:59:06
你好，由于我的愚笨，我沒有怎么看懂~但是我覺得當(dāng)n=1時(shí)，面積應(yīng)該是2*pi*r^2,不知道大神覺得呢？還有為什么除號(hào)前面的n和后面的n^2不進(jìn)行消除呢？非常感謝你...

前面是π，即3.1415926......,不是n。另外，積分積錯(cuò)了，應(yīng)更正為：π*{sqrt(1+4*n^2)]^3-1]}[6*n^2]*r^2 。當(dāng)n=1時(shí)，S=1.697*π*r^2

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6樓2013-11-30 09:26:18

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5樓: Originally posted by douhaosuda at 2013-11-30 09:07:14
你好，謝謝你的回答，但是我將n=1帶入后，結(jié)果并不是2*pi*r^2，也就是半球的表面積，還望大神給予回復(fù)，謝謝？？

...

拋物線方程與圓方程有區(qū)別。

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7樓2013-11-30 09:34:22

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作此題的思路是：截取一段曲線微元dL, 則該微元繞y軸旋轉(zhuǎn)一圈的面積為：dS=dL*2*π*x=sqrt{1+[y']^2}*dx*2*π*x=2*π*x*sqrt{1+4*n^2/r^2}*dx
然后對(duì)dS從0到r求定積分即可。

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8樓2013-11-30 09:37:36

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7樓: Originally posted by feixiaolin at 2013-11-30 09:34:22
拋物線方程與圓方程有區(qū)別。...

謝謝，我懂了~

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10樓2013-11-30 19:51:12

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