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nagami木蟲 (正式寫手)
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[交流]
所知的偏微分方程的幾種定性方法 已有4人參與
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大量的數(shù)學(xué)物理方程的推到，依賴于守恒律以及某些對稱性假設(shè)的結(jié)果，所以很大程度上方程的推到變得簡單（相對于求解）。事物的兩面性告訴我們，求解PDEs將必然耗去我們大量的時(shí)間和精力。相反，如果有另一種方式，使得詮釋物理過程在數(shù)學(xué)上變得異常復(fù)雜，那對于可解的問題是否將變得簡單化。。。。。 1.Hilbert space method 關(guān)于微分算子的一種自然的表述應(yīng)該是廣義函數(shù)下的解釋。因而PDEs被理解為廣義函數(shù)空間中的一個(gè)元，其實(shí)是檢驗(yàn)函數(shù)空間的歸納極限拓?fù)涫沟梦⒎诌\(yùn)算暢通無阻，而且還保持TVS的完備性。由于大量的函數(shù)空間的對偶空間可以被嵌入在廣義函數(shù)空間里面，所以PDEs可以被理解為一種對偶形式。Hilbert space 一方面是自對偶的，另一方面有一個(gè)自然的內(nèi)積結(jié)構(gòu)與物理的能量觀念對應(yīng)。所以大量的力學(xué)及物理問題可由變分不等方程描述。熱學(xué)，彈性，粘彈性，塑性，各種摩擦問題，Bingham流體，電磁，etc 當(dāng)然一般不能在廣義函數(shù)空間下面討論這類問題，一個(gè)重要的困難在于乘法運(yùn)算。還好我們有局部可積函數(shù)對應(yīng)的廣義函數(shù)，加入范數(shù)結(jié)構(gòu)，就變得十分有用。一個(gè)著名的例子就是Sobolev space。確定在什么樣的空間下面討論P(yáng)DEs的解，這是首先面對的大問題。。。 此外，還有非齊次問題，邊界的幾何條件，etc 相當(dāng)長遠(yuǎn)的路。。。。 2.Weak convergence method 脫離Hilbert space的良好結(jié)構(gòu)，這是Banach space中求解PDEs的另一種方法。具體不知，無限維Banach space中單位球緊性缺失，必須要考慮各種各樣的弱拓?fù)淞�。通常是選擇使得連續(xù)線性泛函族（范拓?fù)湎拢┍３诌B續(xù)的最弱拓?fù)�。一系列的討論自然就來了，緊性，可分性，etc 倘若掌握了這種方法的精髓，想必十分強(qiáng)大。 3.Fixed point methd 為了說明某些存在性問題，除了緊性，fixed point 的觀點(diǎn)另辟蹊徑。一般有metrix fixed point theorem，但最著名也是最有影響的是topological fixed point theorem。這年頭，拓?fù)浠暫跏莻�(gè)趨勢。與拓?fù)湎嚓P(guān)的結(jié)果一般具有可遺傳性，就是在同胚下保持某種不變性，這里我們說的是不動點(diǎn)存在性。各種延拓的定理在此表現(xiàn)得異常強(qiáng)大。PDEs問題以另一種角度被解釋了，我們可以在normed space下考慮這類問題，直接求解算子方程的強(qiáng)大工具，這是代數(shù)拓?fù)涞镊攘Π��？上�，一般我們很難獲得迭代格式用于計(jì)算機(jī)計(jì)算。魚和熊掌不可兼得吧。。。 應(yīng)該還有其他的各類方面，請各種蟲友，列舉一二，希望通俗易懂點(diǎn)的，交流交流。。。  大概還有 4.Lie group method 李群分析與PDEs，有一些書講這個(gè)，比如“瑞典人Nail H. Ibragimov編寫的李群分析與偏微分方程關(guān)系式之手冊” [ Last edited by nagami on 2013-12-9 at 16:11 ] |
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