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霞棲影新蟲 (小有名氣)
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[求助]
求助一道基礎(chǔ)代數(shù)題目 已有1人參與
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| 證明：設(shè)R為交換環(huán)，如果R上的自由模的子模都是自由的，則R為主理想整環(huán) |
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hank612
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3樓2013-12-30 11:34:50
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4樓2014-01-01 13:01:02
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【答案】應(yīng)助回帖
feixiaolin: 2014-01-07 07:52:06
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幾乎沒有考慮過沒帶幺的交換環(huán)，可難倒我了。 下面這個(gè)證明不假設(shè)帶不帶幺，所謂碰到困難繞道走。。。 取自由R-模F，維數(shù)為1(相當(dāng)于一維線性空間), 設(shè)x 為基元。 對(duì)于任意理想I， Ix 為F的非零子模，因此是自由R-模。 設(shè)一組基 ax, bx,.... 由于 b*(ax) + (-a)*(bx)=0, 所以 ax, bx 是R-相關(guān)的。 因此 Ix 必然是一維的自由模， 設(shè)ax是基元，那么由于x是F的基元，得出 I=(a) 是主理想。 進(jìn)一步，由ax是基元，不存在b非零，使得b(ax)=0. 即a不是零因子。 由I的任意性， R中不會(huì)有零因子，從而R是主理想整環(huán)。 |
5樓2014-01-02 12:47:13
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