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小蜜蜂

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專業(yè): 原子和分子物理

[求助] 波動疊加里的能量問題

假設我們有兩列偏振方向一致的波。比如說：
$E_1(z,t)=E_{10}\cos(\omega t - k z)$ ;
$E_2(z,t)=E_{20}\cos(\omega t - k z+\phi)$ .
他們的頻率是相等的。那么依照波的疊加原理：合成
后的振幅應該是：
$E=\sqrt{E_{10}^2+E_{20}^2+2E_{10}E_{20}\cos{\phi}}$ ;
如果在考慮能量：
$I \propto E^2$ 。
你會發(fā)現(xiàn)，疊加后的能量是大于疊加前的能量的。

特殊情況，如果兩列波是一樣的，那么疊加前的能量是 $2I$ ;
其中 $I$ 是一列波的能量，那么疊加后的能量是 $4I$ ;

后來我又想，如果是兩個完全一樣的激光器。考慮能量守恒的話呢。那么
合成后的振幅，就不應該是 $2E$ ，其中 $E$ 是一列波
的振幅。合成后的振幅應該是 $\sqrt{2}E$ .

于是從此陷入了混亂。

----------------------------憋屈的分割線-------------------------------

我聽到的解釋有：
1：兩個完全一致的波疊加，就成了一個波。反過來想，就是我們提出的問題是
多余的，本來就是一個波。這個疊加是我們臆想出來的。
（這個說法我不認同。不一致的波可以疊加，一致的波當然也可以）

2：疊加后的振幅增大了，波峰大，波谷卻更深了，公式里指的是波峰，不是波谷。
（這個回答有點荒誕）

3： $I \propto E^2$ 中的 $I$ 是能量密度。不是能量。能量
正比于： $\int_\tau\; I\; d\tau$ .
（積分和不積分不會有那么大的區(qū)別吧，不信服）

4：和繩波類比，兩個繩子一起考慮，相當于震動著質點的質量翻倍，所以能量翻倍
是正確的。
（可是電磁震動沒有質點概念哦，另外如果三列波疊加呢？）

5：波動理論處理的是疊加后的能量分布問題，即干涉條紋和衍射條紋。整個過程的
的能量問題需要另加修正，或從量子觀點描述。這是波動理論的天然缺陷。
（說得通哦）

6：沒有計入磁能，如果考慮了磁能，疊加前后的能量就一致了。
（沒有算。不過，電矢量可以疊加，磁矢量也是疊加的吧。）

坐等靠譜的說法。

[ Last edited by ifelseend on 2014-1-14 at 10:27 ]

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1樓 2014-01-14 10:22:57

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引用回帖:

2樓: Originally posted by 十點鐘的咖啡 at 2014-01-14 13:29:41
波的疊加原理來自于麥克斯韋方程：
\partial ^2 _t E(z,t) + c^2 \partical ^2 _z E(z,t) = 0; （1）
由于這是一個先行方程，所以兩個解的和仍然是這個方程的解。于是乎就有了
波的疊加原理。但是，麥克斯韋方程 ...

敲錯了很多字

1. 公式（1）不是22階導數(shù)，是2階導數(shù)。
2. 第三行改為 “由于這是一個線性方程”。
3. 方程2上一行改為“你確不確定能量密度也可以建立這樣的線性偏微分方程？

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3樓2014-01-14 13:36:24

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十點鐘的咖啡

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【答案】應助回帖

★ ★ ★ ★ ★
ifelseend: 回帖置頂 2014-01-14 18:52:54
ifelseend(sweety代發(fā)): 金幣+5, 鼓勵提供有價值的信息 2014-01-15 11:52:25
sweety: 物理EPI+1 2014-01-15 11:52:32

波的疊加原理來自于麥克斯韋方程：
$\partial ^2 _t E(z,t) + c^2 \partical ^2 _z E(z,t) = 0$ ; （1）
由于這是一個先行方程，所以兩個解的和仍然是這個方程的解。于是乎就有了
波的疊加原理。但是，麥克斯韋方程是描述是電場的方程，而非描述能量的方
程；確切的說不是描述“能量密度”（energy density)的方程。對于所提到的問
題，在不考慮能量橫向分布的情況下（電場不是x和y的函數(shù)，而只是z和t的函
數(shù)。那么這個問題就等價為，將一個電場 E(z,t)分解為兩個場E1(z,t)和E2(z,t)
這是完全可行的，因為，如果E1和E2是麥克斯韋方程的解，那么E(z,t)一定是
方程的解；反之亦然。
$E(z,t)=E_1(z,t)+E_2(z,t)$
然后，按照你的描述，我們分別計算E_1(z,t)的能量密度和E_2(z,t)的能量密度
得到了I1和I2，把I1和I2加起來，你認為是總的能量密度。這個分析實際上是在
偷偷的套用“能量密度的疊加原理”。問題是能量密度是不是存在疊加原理？
我們已經(jīng)知道波動的疊加原理，或者是電場的疊加是來自方程（1）。你卻不確
定能量密度也可以建立這樣的線性偏微分方程？。我們看：
$I(z,t)=\alpha E(z,t)^2$ ; （2）
E(z,t)滿足一個線性的方程。那么I(z,t)是不是滿足某個線性方程。不妨把（2）
代入帶（1）里面看看。其實電磁能量密度不是線性的。不滿足線性疊加原理。
I1+I2不是能量密度，他什么都不是。（E1+E2）*（E1+E2）才是能量密度。
從開始到結束都要這么計算。

以上說明的是兩束共線傳播的光，如果想你所說的，兩個激光器的光。那么就
要清楚能量密度這個概念，兩束光交匯了，交匯處的能量密度必然翻倍，因為
那里的橫截面積變成一半了。

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2樓2014-01-14 13:29:41

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