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[求助]
關(guān)于隨機(jī)變量的和的定義域的一個(gè)小疑問(wèn) 已有2人參與
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設(shè)X1，X2,,,Xn都是概率空間(A,F,\mu)上的隨機(jī)變量，由定理可知X=X1+X2+...+Xn也是隨機(jī)變量，現(xiàn)在我的疑問(wèn)是X的定義域是哪個(gè)空間？答案不外乎兩種：一.X的定義域仍是A，但在這種情況下，不妨取A={拋擲硬幣的正面，反面}，X1...Xn i.i.d, 且Xi(正面)=1，Xi(反面)=0，那么在這種情況下X的取值只有0或n，因?yàn)閄(正面)=1+1+...+1=n，X(反面)=0+0+...+0=0，這種情況應(yīng)該是錯(cuò)的；二.X的定義域是A*A*...*A，如果是這樣，那么就可以解釋上面例子中X的取值，即從0到n都可以取到，但是在這種情況下，關(guān)于定理“隨機(jī)變量和的期望=每個(gè)隨機(jī)變量的期望的和”就不能簡(jiǎn)單的用積分是線性的這個(gè)性質(zhì)來(lái)證明，那又該如何證明。 關(guān)于這個(gè)地方想了好久也沒想通  |
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jabile
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11樓2014-02-12 14:01:39
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概率論的目標(biāo)是研究樣本空間各種可測(cè)子集的概率大小的，但因?yàn)橐话愕臉颖究臻g沒有什么數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，比如線性結(jié)構(gòu)、度量結(jié)構(gòu)等，也就是說(shuō)對(duì)一般的樣本空間來(lái)說(shuō)，其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)太差，不好處理，所以才引入隨機(jī)變量，將樣本空間映射到實(shí)數(shù)域，因?yàn)閷?shí)數(shù)域是i一個(gè)非常好的集合，具有非常好的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 從映射的角度看，隨機(jī)變量就是一個(gè)樣本空間到實(shí)數(shù)域的映射，：定義域是樣本空間，值域是實(shí)數(shù)，概率論一般就只研究其值域，將樣本空間的子集轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的可測(cè)子集，便于計(jì)算。通常不考慮映射的具體形式，所以只要假設(shè)有一個(gè)樣本空間存在就可以了。 所以樓主不必糾結(jié)其定義域 |
15樓2014-02-13 10:33:28
polypro
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7樓2014-02-12 12:19:36
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【答案】應(yīng)助回帖
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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
hubeizk: 金幣+20, ★★★★★最佳答案, 在我想給金幣的人里面只有你的這個(gè)帖子能給，就全給這個(gè)帖子好了 2014-02-13 10:54:13
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樓主對(duì)測(cè)度論研究得很仔細(xì)，個(gè)人提點(diǎn)個(gè)人看法，不一定對(duì)，僅供樓主參考： A本身就是一個(gè)無(wú)窮乘積空間：即A={w=(w1,w2,w3,....,wn,...)|wi=正面或反面} 隨機(jī)變量Xn的定義為 Xn(w)=1 若 wn=正面，Xn(w)=0 若 wn=反面，n=1,2,3,.... 即隨機(jī)變量可以看成樣本點(diǎn)在第n個(gè)坐標(biāo)上的投影 這樣X= X1+X2+...+Xn就比較好理解了 |
» 本帖已獲得的紅花（最新10朵）
hubeizk9樓2014-02-12 12:53:29
10樓2014-02-12 13:12:45
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