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風月何處木蟲 (正式寫手)
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[求助]
哪位高手可以幫我解答，常微分方程，解的延拓課后習題求解 已有3人參與
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下題第5 題，誰能給解答一下。不勝感激！ 圖片.jpg [ Last edited by 風月何處 on 2014-2-14 at 18:42 ] |
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一點想法而已。 由 yf(y) <0 可知 f(y)在y=0左右變號，因此f(0)=0. 所以 y=0 (常數(shù)函數(shù)) 是微分方程的一個解。 現(xiàn)在從 x_0 到 比x_0大的 A 上積分兩邊 2y * dy/dx = 2yf(y), 因此 y^2 是嚴格遞減的， 但是又不能碰到 y=0 (解的唯一性), 那么任取有界開矩形 (x_0, A) x ( 0, y_0), 根據(jù)延拓定理， 解(x, y(x)) 可以持續(xù)延拓直到任意逼近區(qū)域的邊界， 那么這邊界只能是矩形右側(cè)x=A這一小段。 由A的任意性， 解在[x_0, infinity) 上存在。 由y^2 單調(diào)下降有下界知道 Lim_{x -> infinity} y(x) =a 極限存在。那么 y的導(dǎo)數(shù)趨于零，所以 f(a)=0. 可是f(x) 只有一個零點，就是 a=0. |
2樓2014-02-15 15:25:29
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