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風(fēng)月何處

木蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)

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[求助] 哪位高手可以幫我解答，常微分方程，解的延拓課后習(xí)題求解已有3人參與

下題第5 題，誰(shuí)能給解答一下。不勝感激！

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[ Last edited by 風(fēng)月何處 on 2014-2-14 at 18:42 ]

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1樓 2014-02-14 12:57:48

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風(fēng)月何處

木蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)

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引用回帖:

3樓: Originally posted by feixiaolin at 2014-02-15 17:49:34
轉(zhuǎn)換一下：
dx=1/f(y)*dy
x=Intergrate+C

這個(gè)沒(méi)明白什么意思，思路是怎樣的？

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6樓2014-02-16 15:16:04

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hank612

至尊木蟲(chóng) (著名寫(xiě)手)

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
風(fēng)月何處: 金幣+4, ★有幫助, 謝謝參與討論 2014-02-16 15:10:59

一點(diǎn)想法而已。
由 yf(y) <0 可知 f(y)在y=0左右變號(hào)，因此f(0)=0. 所以 y=0 (常數(shù)函數(shù)) 是微分方程的一個(gè)解。

現(xiàn)在從 x_0 到比x_0大的 A 上積分兩邊 2y * dy/dx = 2yf(y), 因此 y^2 是嚴(yán)格遞減的，但是又不能碰到 y=0 (解的唯一性), 那么任取有界開(kāi)矩形
(x_0, A) x ( 0, y_0), 根據(jù)延拓定理，解(x, y(x)) 可以持續(xù)延拓直到任意逼近區(qū)域的邊界，那么這邊界只能是矩形右側(cè)x=A這一小段。由A的任意性，解在[x_0, infinity) 上存在。

由y^2 單調(diào)下降有下界知道 Lim_{x -> infinity} y(x) =a 極限存在。那么 y的導(dǎo)數(shù)趨于零，所以 f(a)=0. 可是f(x) 只有一個(gè)零點(diǎn)，就是 a=0.

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We_must_know. We_will_know.

2樓2014-02-15 15:25:29

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feixiaolin

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dx=1/f(y)*dy
x[y]=Intergrate[1/f(t),{t=1, y}]+C

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3樓2014-02-15 17:49:34

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Nonsmooth

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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
風(fēng)月何處: 金幣+4, ★有幫助, 謝謝參與討論 2014-02-16 15:16:57

引用回帖:

2樓: Originally posted by hank612 at 2014-02-15 15:25:29
一點(diǎn)想法而已。
由 yf(y) <0 可知 f(y)在y=0左右變號(hào)，因此f(0)=0. 所以 y=0 (常數(shù)函數(shù)) 是微分方程的一個(gè)解。

現(xiàn)在從 x_0 到比x_0大的 A 上積分兩邊 2y * dy/dx = 2yf(y), 因此 y^2 是嚴(yán)格遞減的，但是又 ...

唯一性在這里能用么？需要確認(rèn)一下。

感覺(jué)可能的情況是：1、從x軸上（下）方跑近x軸，但是永遠(yuǎn)達(dá)不到；2、從x軸上（下）方某時(shí)刻跑到x軸，然后一直呆在x軸上。

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學(xué)術(shù)無(wú)國(guó)界。

4樓2014-02-15 18:39:39

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