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clevercalm

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2014-03-20 13:34:43, 12.03 K

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1樓 2014-03-20 13:35:37

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jabile

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clevercalm: 金幣+55 2014-03-20 19:50:31

二.對(duì)M>0,
$\int_{\Omega} |f_n(x)|dx\leq \int_{\Omega} |f_n(x)|\vee M dx+\int_{\Omega,|f_n(x)|>M} |f(x)|dx$ $<br /> 由控制收斂定理，<br /> [latex]\int_{\Omega} |f_n(x)|\vee M dx\rightarrow 0$
由Cauchy不等式，
$[\int_{\Omega,|f_n(x)|>M} |f(x)|dx]^2 \leq \int_{\Omega}f^2(x)dx \int_{\Omega,|f_n|>M} 1 dx$
而當(dāng) $M\rightarrow \infty$ ，
$P(|f_n|>M)\rightarrow 0$

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3樓2014-03-20 18:45:51

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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
clevercalm: 金幣+50, ★★★很有幫助 2014-03-20 19:50:27

一. 令 $f(x)=\mu (\Omega \cap [-\infty,x])$ ，
則 $f(-\infty)=0,f(+\infty)=1$ ，且f連續(xù)，故對(duì)任意
$0<\alpha<1$ ，存在x, $f(x)=\alpha$
$\Omega_{\alpha}$ 就是 $\Omega\cap [-\infty,x]$

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2樓2014-03-20 18:33:17

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引用回帖:

3樓: Originally posted by jabile at 2014-03-20 18:45:51
二.對(duì)M>0,
\int_{\Omega} |f_n(x)|dx\leq \int_{\Omega} |f_n(x)|\vee M dx+\int_{\Omega,|f_n(x)|>M} |f(x)|dx
由控制收斂定理，
\int_{\Omega} |f_n(x)|\vee M dx\rightarrow 0
由Cauchy不等式，
^2 ...

中間有亂碼，也還有點(diǎn)看不懂。能不能麻煩你再寫(xiě)的詳細(xì)些，謝謝!

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4樓2014-03-20 20:30:03

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引用回帖:

重寫(xiě)一下，積分分兩部分，
第一部分和n無(wú)關(guān)
$[\int_{\Omega,|f|>M} |f|dx]^2\leq [\int_{\Omega,|f|>M} f^2 dx ][\int_{\Omega,|f|>M} 1dx]$
$\int_{\Omega,|f|>M}f^2dx\leq \int_{\Omega}f^2dx\leq 1$
$\int_{\Omega,|f|>M} 1dx\leq P(|f|>M)\leq {1\over M^2}\int_{\Omega} f^2dx\leq {1\over M^2}$
第二部分根據(jù)控制收斂定理，
$\int_{\Omega,|f_n|\leq M} |f|dx\leq \int_{\Omega} |f|\wedge M dx \rightarrow 0$

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5樓2014-03-20 20:50:28

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