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誰(shuí)負(fù)韶華新蟲(chóng) (小有名氣)
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[求助]
求助實(shí)變函數(shù)一道
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設(shè){r_n}是（0，1）中的有理數(shù)全體，定義f(x)=∑2^-n（r_n小于x）,x∈(0,1],f(0)=0,證明f導(dǎo)數(shù)幾乎處處存在且為0。 [ 發(fā)自手機(jī)版 http://www.gaoyang168.com/3g ] |
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誰(shuí)負(fù)韶華
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送紅花一朵 3樓2014-05-17 16:54:46
hank612
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由于f是遞增的(non-decreasing)的, 所以導(dǎo)數(shù)a.e.存在 (Lebesgue 1910) 定義函數(shù) g_n(x)= 2^{-n} Chi(x>r_n) (示性函數(shù)), 那么 f(x)=Sum_n g_n(x) 并且 g_n'(x)=0 a.e. (階躍函數(shù)). 因此 f'(x)=0 a.e. 不過(guò)你要證明求導(dǎo)與求和可以交換次序. |
» 本帖已獲得的紅花（最新10朵）
2樓2014-05-17 07:03:06
hank612
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我的證法也許會(huì)有問(wèn)題，看網(wǎng)絡(luò)上現(xiàn)成的答案吧 http://math.stackexchange.com/qu ... ction-is-equal-to-0 http://mathoverflow.net/question ... n-is-equal-to-0-a-e 有點(diǎn)高手如云，舉重若輕的感覺(jué)，羨慕嫉妒恨。。。 |
4樓2014-05-19 05:31:36
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