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napoleon_999

木蟲 (小有名氣)

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[求助] 圖論方面的一個(gè)小問題已有2人參與

有一個(gè)問題想了好久都沒有證明出來，就是對(duì)于一個(gè)不含三角形的圖G，∑d(i)^2<=mn，其中m是邊數(shù)，n是頂點(diǎn)數(shù)，d(i)
是每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)。請(qǐng)各位大神幫忙解決一下，我是新人，金幣有點(diǎn)少，若能解決，感激不盡！

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1樓 2014-08-11 11:13:16

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Edstrayer

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你沒有把問題的條件敘述清楚吧？
這個(gè)問題中的圖G對(duì)于含圈的簡(jiǎn)單圖也是成立的。
例如，設(shè) $G=(V,E),\textbf{here} V=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\},E=\{v_1v_2,v_2v_3,v_3v_4,v_4v_5,v_5v_1\}$ ，即G是五個(gè)頂點(diǎn)的含圈的簡(jiǎn)單圖，則有：

$d(v_i)=2(i=1,2,3,4,5),n=5,m=5$

于是就有：

$\sum\limits_{v_i\in G}d^2(v_i)=2^2\times 5=4\times 5=20<nm=5\times 5=25$

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4樓2014-08-11 14:27:30

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Edstrayer

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圖G是簡(jiǎn)單圖吧？
否則，易舉出反例的。
例如： $G=\{v_1,v_2,v_3\},E=\{v_1v_2,v_1v_2,v_1v_3,v_1v_3\}$ ，即G是三個(gè)頂點(diǎn)四條邊的含圈圖（不含成三角形的邊），其中

$d(v_1)=4,d(v_2)=d(v_3)=2,n=3,m=4$

則有：

$\sum\limits_{v_i\in G}d^2(v_i)=4^2+2^2+2^2=24>3\times 4=12$

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2樓2014-08-11 12:16:04

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napoleon_999

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引用回帖:

2樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-08-11 12:16:04
圖G是簡(jiǎn)單圖吧？
否則，易舉出反例的。
例如：G=\{v_1,v_2,v_3\},E=\{v_1v_2,v_1v_2,v_1v_3,v_1v_3\}，即G是三個(gè)頂點(diǎn)四條邊的含圈圖（不含成三角形的邊），其中
d(v_1)=4,d(v_2)=d(v_3)=2,n=3,m=4
則有：
\sum ...

對(duì)，忘說了，是簡(jiǎn)單圖，無圈無重邊的。

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3樓2014-08-11 13:14:06

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引用回帖:

4樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-08-11 14:27:30
你沒有把問題的條件敘述清楚吧？
這個(gè)問題中的圖G對(duì)于含圈的簡(jiǎn)單圖也是成立的。
例如，設(shè)G=(V,E),\textbf{here} V=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\},E=\{v_1v_2,v_2v_3,v_3v_4,v_4v_5,v_5v_1\}，即G是五個(gè)頂點(diǎn)的含圈的簡(jiǎn)單 ...

不，您弄錯(cuò)了，我就是指的所有的簡(jiǎn)單圖，無圈無重邊是簡(jiǎn)單圖的概念，圈在這里指的是一條邊兩個(gè)端點(diǎn)是同一個(gè)頂點(diǎn)的那一種，不是circle，是loop，這道題的圖G范圍是全體簡(jiǎn)單圖。證明目前還是想不出來。

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5樓2014-08-11 14:45:04

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