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北京石油化工學院2026年研究生招生接收調(diào)劑公告

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citihome

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[交流] 求不等式方程的解法已有3人參與

其中既包含值域約束,不等式中也包含導數(shù).請問這樣的方程如何求解?

loss.JPG

inequation.JPG[ Last edited by citihome on 2014-8-25 at 15:50 ]

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2014-08-25 15:50:05, 270.4 K

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1樓 2014-08-24 11:13:47

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peterflyer

木蟲之王 (文學泰斗)

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10樓: Originally posted by citihome at 2014-08-25 18:29:55
能把你的步驟寫寫么(這里不僅有y'和y，還有y''.沒想到怎么就全部變成y'相關(guān)的方程了）
沒跟上...

第二個方程：令u=y'，
故y''=dy'/dx=dy'/dy*dy/dx=u*du/dy,
代入原方程后，
3/[1+e^(-y)]*u^2-3/2=u*du/dy=1/2*d(u^2)/dy,
整理后得：d(u^2)/dy-6/[1+e^(-y)]*u^2=-3
這是一個u^2的一階線性非其次常微分方程，代入專門的求解公式后得到:
u^2=(y')^2=C*(1+e^y)^6-3*(1+e^y)/5-3*(1+e^y)^2/4-(1+e^y)^3-3*(1+e^y)^4/2-3*(1+e^y)^5-3*(1+e^y)^6*Ln(1+e^y)-3*y*(1+e^y)^6
Integral{dy/SQRT[C*(1+e^y)^6-3*(1+e^y)/5-3*(1+e^y)^2/4-(1+e^y)^3-3*(1+e^y)^4/2-3*(1+e^y)^5-3*(1+e^y)^6*Ln(1+e^y)-3*y*(1+e^y)^6
]}=A ± x

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11樓2014-08-25 19:11:18

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Edstrayer

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設(shè)

$a>0,0<b<\frac{1}{2}e^{-a}$

則可以構(gòu)造函數(shù)

$p(x)=be^{ax}(x\in[0,1])$

那么函數(shù)p(x)滿足下列條件：

$Range(p)=[0,1]$

$p\frac{dp}{dx}=ab^2e^{2ax}\geqslant 0$

$0\leqslant\left(\frac{dp}{dx}\right)^2+p\frac{d^2p}{dx^2}\leqslant\frac{d^2p}{dx^2}$

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青蔥歲月圣誕夜，浪漫歌舞迎新年。

2樓2014-08-24 16:02:48

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cooooldog

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ส็็็

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問題在于, 這類問題跟普通微分方程組不同,不存在簡單的"通解";
而且求解的區(qū)間有限制時,解的花樣可能更多;
所以, 除非給出更詳細的問題的背景,否則難以有好的答案.

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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็

3樓2014-08-24 17:49:11

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peterflyer

木蟲之王 (文學泰斗)

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因為p∈[0,1],故p≥0
而由題設(shè)條件 p*dp/dx≥0
故 dp/dx≥0
因為(dp/dx)^2+p*d^2p/dx^2=d(p*dp/dx)/dx
故有0≤d(p*dp/dx)/dx≤d^2p/dx^2
兩邊積分后得：
C≤p*dp/dx≤dp/dx + D
F+C*x≤ p^2≤p+D*x + G
C、D、F、G均為積分常數(shù)。
由 p^2≥F+C*x，解得:
p(x)≤-SQRT(F+C*x)                                                                               (1)
或
p(x)≥SQRT(F+C*x)                                                                               (2)
由p^2≤p+D*x + G，解得:
1/2*{1-SQRT[1+4*(D*x + G)]}≤p≤1/2*{1+SQRT[1+4*(D*x + G)]}             (3)
聯(lián)立(1)、(3)或聯(lián)立(2)、(3)求得p(x)。這兩個解的合集即為所要求的解。

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4樓2014-08-24 19:48:25

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引用回帖:

4樓: Originally posted by peterflyer at 2014-08-24 19:48:25
因為p∈,故p≥0
而由題設(shè)條件 p*dp/dx≥0
故 dp/dx≥0
因為(dp/dx)^2+p*d^2p/dx^2=d(p*dp/dx)/dx
故有0≤d(p*dp/dx)/dx≤d^2p/dx^2
兩邊積分后得：
C≤p*dp/dx≤dp/dx + D
F+C*x≤ p^2≤p+D*x + G
C、D、F、 ...

對了，剛才的求解中忘了將條件p∈[0,1]加上。加上后，（1）的解集和（3）的解集中小于零的部分不合題意被舍去，則得：

因為p∈[0,1],故p≥0
而由題設(shè)條件 p*dp/dx≥0
故 dp/dx≥0
因為(dp/dx)^2+p*d^2p/dx^2=d(p*dp/dx)/dx
故有0≤d(p*dp/dx)/dx≤d^2p/dx^2
兩邊積分后得：
C≤p*dp/dx≤dp/dx + D
F+C*x≤ p^2≤p+D*x + G
C、D、F、G均為積分常數(shù)。
由 p^2≥F+C*x，解得:
p(x)≤-SQRT(F+C*x)                                                                               (1)
或
p(x)≥SQRT(F+C*x)                                                                               (2)
由p^2≤p+D*x + G，解得:
1/2*{1-SQRT[1+4*(D*x + G)]}≤p≤1/2*{1+SQRT[1+4*(D*x + G)]}             (3)
因為 p∈[0,1]，解集中小于零的部分不合題意被舍去，則得：
令f(x)=Max{SQRT(F+C*x) , 1/2*{1+SQRT[1+4*(D*x + G)]}}≤1
則：
0≤p(x)≤f(x)≤1  是所求問題的解。

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5樓2014-08-24 19:58:54

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5樓: Originally posted by peterflyer at 2014-08-24 19:58:54
對了，剛才的求解中忘了將條件p∈加上。加上后，（1）的解集和（3）的解集中小于零的部分不合題意被舍去，則得：

因為p∈,故p≥0
而由題設(shè)條件 p*dp/dx≥0
故 dp/dx≥0
因為(dp/dx)^2+p*d^2p/dx^2=d(p*dp/dx ...

謝謝
如果是這個不等式方程能解么?
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6樓2014-08-25 14:51:54

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3樓: Originally posted by cooooldog at 2014-08-24 17:49:11
問題在于, 這類問題跟普通微分方程組不同,不存在簡單的"通解";
而且求解的區(qū)間有限制時,解的花樣可能更多;
所以, 除非給出更詳細的問題的背景,否則難以有好的答案.

原始問題是求最優(yōu) 強凸函數(shù)(帶約束的最優(yōu)泛函問題)
嘗試了好久,都得不到簡單的定解條件(附件).
于是嘗試去除"最優(yōu)",只要求能構(gòu)造強凸就行
結(jié)果又不會解解方程

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2014-08-25 15:52:33, 270.4 K

7樓2014-08-25 15:54:35

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2樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-08-24 16:02:48
設(shè)
a>0,0<b<\frac{1}{2}e^{-a}
則可以構(gòu)造函數(shù)
p(x)=be^{ax}(x\in)
那么函數(shù)p(x)滿足下列條件：
Range(p)=
p\frac{dp}{dx}=ab^2e^{2ax}\geqslant 0
0\leqslant\left(\frac{dp}{dx}\right)^2+p\frac ...

謝謝,不知道你怎么想到的

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8樓2014-08-25 15:56:19

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6樓: Originally posted by citihome at 2014-08-25 14:51:54
謝謝
如果是這個不等式方程能解么?
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loss.JPG...

第一個不會做。第二個，令u=y',則會得到一個以u^2為因變量、以y為自變量的一階線性常微分方程，求解解得(y')^2=C*[y'/(y'-1)]^6-3 ，下面解不出這個以y'為未知數(shù)的一元高次方程非線性代數(shù)方程，下面的求解也就進行不下去了。

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9樓2014-08-25 18:16:51

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9樓: Originally posted by peterflyer at 2014-08-25 18:16:51
第一個不會做。第二個，令u=y',則會得到一個以u^2為因變量、以y為自變量的一階線性常微分方程，求解解得(y')^2=C*^6-3 ，下面解不出這個以y'為未知數(shù)的一元高次方程非線性代數(shù)方程，下面的求解也就進行不下去了。...

能把你的步驟寫寫么(這里不僅有y'和y，還有y''.沒想到怎么就全部變成y'相關(guān)的方程了）
沒跟上

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10樓2014-08-25 18:29:55

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[交流] 求不等式方程的解法已有3人參與

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