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san852

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[交流] [求助]求解極座標上的偏微分方程(Laplace’s Equation)!!!! 已有4人參與

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Laplace??s Equation .JPG

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1樓 2014-08-28 18:52:26

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令u=R*C,帶入原方程，
Θ*d^2R/dr^2+1/r*Θ*dR/dr+1/r^2*R*d^2Θ/dθ^2=0,
兩邊同乘以r^2/R*Θ≠0，
r^2/R*d^2R/dr^2+r/(R)*dR/dr=-1/Θ*d^2Θ/dθ^2≡a^2 (1)
其中a為實積分常數(shù)。
由 -1/Θ*d^2Θ/dθ^2≡a^2 得到：
Θ=A*Cos(a*θ)+B*Sin(a*θ)
由于θ=θ時和θ=θ+2*k*π時，Θ取同樣的值，因此
a=0,±1,±2,±3,±4,.......，即a為整數(shù)。
由 r^2*d^2R/dr^2+r*dR/dr+a^2*R=0得到：
R=C*r^a+D*r^(-a)

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2樓2014-08-28 22:52:06

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cooooldog

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ส็็็

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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็

3樓2014-08-29 14:43:56

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4樓2014-08-29 17:59:06

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引用回帖:

2樓: Originally posted by peterflyer at 2014-08-28 22:52:06
令u=R*C,帶入原方程，
Θ*d^2R/dr^2+1/r*Θ*dR/dr+1/r^2*R*d^2Θ/dθ^2=0,
兩邊同乘以r^2/R*Θ≠0，
r^2/R*d^2R/dr^2+r/(R)*dR/dr=-1/Θ*d^2Θ/dθ^2≡a^2 (1)
其中a為實積分常數(shù)。
...

分離變量之后,得到只能用第二類貝塞爾函數(shù)表示的結果;

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文章乃身外之物,要多考慮編輯、審稿人和讀者的感受。

5樓2014-08-30 08:01:52

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引用回帖:

5樓: Originally posted by Mr__Right at 2014-08-30 08:01:52
分離變量之后,得到只能用第二類貝塞爾函數(shù)表示的結果;

...

這好像是個歐拉方程吧。

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6樓2014-08-30 17:28:47

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cooooldog

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引用回帖:

6樓: Originally posted by peterflyer at 2014-08-30 17:28:47
這好像是個歐拉方程吧。...

按照可分離變量的方式求解的話

的確得到常微分方程,標準的解是貝塞爾函數(shù)表示形式;
看上去是一道作業(yè)題; 不知道是考查什么的
ฏ๎๎๎๎๎๎๎๎๎ฏฏด้้้้้็็็็็้้้้้็็็็็้้้้้็็็้็็็ฏ๎็็็็็็oด้้้้้็็็็็้้้้้็็็็็้้้้้้้้็็็็็้้้้้็็็็็้้

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7樓2014-08-30 17:37:28

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