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北京石油化工學(xué)院2026年研究生招生接收調(diào)劑公告

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napoleon_999

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[求助] 數(shù)論的一個(gè)小問題已有1人參與

證明1/(2k+1)+1/(2k+3)+......1/(2k+2m+1)不是整數(shù)，k和m均為正整數(shù)。感覺很難入手啊。

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1樓 2014-10-22 11:40:07

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hank612

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3樓: Originally posted by napoleon_999 at 2014-10-23 11:22:44
可是怎么保證只有一個(gè)i0能使Pj的冪次達(dá)到t呢，我覺得這似乎不能保證。
...

Use some big theorem to get there.
http://www.emis.de/journals/AMI/2007/ami2007-belbachir.pdf

Nagell's theorem, Kurschak's theorem, and Belbachir-Khelladi theorem based on the result of Shorey-Tijdeman.

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4樓2014-10-23 11:28:29

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Edstrayer

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napoleon_999: 金幣+10 2015-03-09 17:02:52

設(shè)

$S(k,m)=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+3}+\cdots+\frac{1}{2k+2m+1}$

將 $2k+1,2k+3,\cdots,2k+2m+1$ 均分解成標(biāo)準(zhǔn)分解式:

$a(k,i)=2k+2i-1=\prod\limits_{j=1}^rp_j^{s_j^i}(i=1,2,\cdots,m+1)$

這里 $p_1<p_2<\cdots<p_r$ 均是奇素?cái)?shù)。且

$s_j^i\geq 0(j=1,2,\cdots,r;i=1,2,\cdots,m+1)\quad\text{and} max{s_1^i,s_2^i,\cdots,s_r^i}\geq 1(i=1,2,\cdots,m+1)$

令 $t_j\stackrel{max}{1\leq i\leq m+1}\{s_j^i\}\geq 1(j=1,2,\cdots,r)$
再令 $t=\stackrel{max}{1\leq j\leq r}t_j\geq 1$ ，取到t值所對(duì)應(yīng)的 $t_j$ 所對(duì)應(yīng)的奇素?cái)?shù)為 $p_j$
則在a(k,i)中有且僅有一個(gè) $i_0$ 使得 $a(k,i_0)$ 中 $p_j$ 的冪次為t
現(xiàn)在令 $c=p_1^{t_1}p_2^{t_2}\cdots p_{j-1}^{t_{j-1}}p_j^{t-1}p_{j+1}^{t_{j+1}}\cdots p_r^{t_r}$
則cS(k,m)中只有

$\frac{c}{a(k.i_0)}=\frac{w}{p_j}$

這一項(xiàng)不為整數(shù)，其余項(xiàng)都是整數(shù)，所以cS(k,m)不是整數(shù)，注意到c是整數(shù)，從而S(k,m)不是整數(shù)。

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青蔥歲月圣誕夜，浪漫歌舞迎新年。

2樓2014-10-23 09:07:01

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napoleon_999

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2樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-10-23 09:07:01
設(shè)
S(k,m)=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+3}+\cdots+\frac{1}{2k+2m+1}
將2k+1,2k+3,\cdots,2k+2m+1均分解成標(biāo)準(zhǔn)分解式:
a(k,i)=2k+2i-1=\prod\limits_{j=1}^rp_j^{s_j^i}(i=1,2,\cdots,m+1)
這里p_1<p_2<\ ...

可是怎么保證只有一個(gè)i0能使Pj的冪次達(dá)到t呢，我覺得這似乎不能保證。

[ 發(fā)自手機(jī)版 http://www.gaoyang168.com/3g ]

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3樓2014-10-23 11:22:44

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4樓: Originally posted by hank612 at 2014-10-23 11:28:29
Use some big theorem to get there.
http://www.emis.de/journals/AMI/2007/ami2007-belbachir.pdf

Nagell's theorem, Kurschak's theorem, and Belbachir-Khelladi theorem based on the result of Shorey-T ...

http://www.math.leidenuniv.nl/~tijdeman/shoreyt.pdf

If you are interested in the number theory, you may read the above portrait on Shorey. The methods they approach problems are modern and deep.

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We_must_know. We_will_know.

5樓2014-10-23 11:52:30

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