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(1+1/3)(1+1/3^3)(1+1/3^5)...(1+1/3^(2n-1)), 當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)的極限是多少？

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1樓 2014-10-24 20:28:20

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tclzxb(feixiaolin代發(fā)): 金幣+4 2014-10-25 16:10:04

具體數(shù)值不會(huì)算，但可以確定的是，極限是存在的，并且大于1，小于e^(3/8).
大于1是很容易理解的。但為何小于e^(3/8)呢？
令y=(1+1/3)(1+1/3^3)(1+1/3^5)......(1+1/3^(2n-1))*...... ,
Lny=SUM{Ln[1+1/3^(2*n-1)],n=1~∞}
<SUM{1/3^(2*n-1)],n=1~∞}
=1/3/[1-1/9]=3/8
所以：y<e^(3/8)

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2樓2014-10-24 20:42:47

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feixiaolin: 金幣+2 2014-10-25 16:10:13

設(shè)

$x_n=(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3^3})\cdots(1+\frac{1}{3^{2n-1}})=\prod\limits_{k=1}^n(1+\frac{1}{3^{2k-1}})$

則

$\ln x_n=\sum\limits_{k=1}^n\ln(1+\frac{1}{3^{2k-1}})$

注意到：

$0<\ln(1+\frac{1}{3^{2k-1}})<\frac{1}{3^{2k-1}}$

所以 $\ln x_n$ 單調(diào)遞增且有上界 $\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{3^{2k-1}}=\frac{3}{8}$ ，故 $\ln x_n$ ，從而 $x_n$ 收斂。
注：[\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=?[/latex]的精確值求不出，不過(guò)可以用matlab等編程計(jì)算其近似值。

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3樓2014-10-25 04:03:44

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3樓: Originally posted by Edstrayer at 2014-10-25 04:03:44
設(shè)
x_n=(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3^3})\cdots(1+\frac{1}{3^{2n-1}})=\prod\limits_{k=1}^n(1+\frac{1}{3^{2k-1}})
則
\ln x_n=\sum\limits_{k=1}^n\ln(1+\frac{1}{3^{2k-1}})
注意到：
0<\ln(1+\frac{1 ...

您是說(shuō)這個(gè)極限沒(méi)法求？只能像\pai或者e那樣給個(gè)名字嗎？

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4樓2014-10-25 14:48:55

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引用回帖:

4樓: Originally posted by tclzxb at 2014-10-25 14:48:55
您是說(shuō)這個(gè)極限沒(méi)法求？只能像\pai或者e那樣給個(gè)名字嗎？...

可以用一個(gè)符號(hào)記述這個(gè)極限，例如：設(shè)

$\tau=\prod\limits_{n=1}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{3^{2n-1}}\right)$

但是這個(gè) $\tau$ 是否會(huì)像 $\pi$ 和e那樣應(yīng)用廣泛卻是未知的，至少現(xiàn)在它的應(yīng)用不清楚。

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5樓2014-10-25 16:02:19

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4樓: Originally posted by tclzxb at 2014-10-25 14:48:55
您是說(shuō)這個(gè)極限沒(méi)法求？只能像\pai或者e那樣給個(gè)名字嗎？...

近似值 1.38912048

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6樓2014-10-25 16:11:33

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